Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais integral-1^1 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 d y d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla integral-1^1 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 dy dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em planos bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida para x variando de -1 a 1, e para cada valor de x, y varia de raiz1 - x^2 a raiz4 - x^2. Isso sugere que estamos lidando com circunferências, já que as expressões raiz1 - x^2 e raiz4 - x^2 são derivadas da equação de uma circunferência x^2 + y^2 = r^2.

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração. A expressão raiz1 - x^2 representa a parte superior da circunferência com raio 1, centrada na origem, enquanto raiz4 - x^2 representa a parte superior da circunferência com raio 2, também centrada na origem. Para x entre -1 e 1, o y varia da circunferência menor para a maior. Então, a região de integração é a área entre essas duas semi-circunferências superiores, do x = -1 ao x = 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla. A integral integral-1^1 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 dy dx representa a área dessa região. Como estamos integrando dy primeiro, para cada x, estamos somando os valores de y de raiz1 - x^2 a raiz4 - x^2, e depois somando isso para todos os x de -1 a 1.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro: integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 dy. Integrando em relação a y, isso simplesmente resulta na diferença entre os limites de integração:
raiz4 - x^2 - raiz1 - x^2

Passo 6

Agora, a integral se torna:
integral-1^1 ( raiz4 - x^2 - raiz1 - x^2 ) dx
Isso significa que precisamos calcular a diferença das áreas das duas semi-circunferências entre x = -1 e x = 1.

Passo 7

Sabemos que a integral de raizr^2 - x^2 dx de -a a a representa a área de um semicírculo com raio r. Nesse caso, temos duas semi-circunferências: uma com raio 2 e outra com raio 1. Porém, estamos integrando apenas de x = -1 a 1, então precisamos ajustar.

Passo 8

A área da semicírcunferência completa de raio r é (pi r^2) / 2. Mas como estamos integrando de -1 a 1, que é uma parte dessa área, especificamente um segmento central. Para simplificar, podemos calcular a diferença das áreas completas e depois ajustar para os limites dados.

Passo 9

Calculando a integral para raiz4 - x^2 de -1 a 1:
integral-1^1 raiz4 - x^2 dx = 12 [ x raiz4 - x^2 + 4 arcsin(x2) ]-1^1
E para raiz1 - x^2 de -1 a 1:
integral-1^1 raiz1 - x^2 dx = pi2

Passo 10

Calculando os valores:
Para raiz4 - x^2:
12 [ 1 cdot raiz4 - 1 + 4 arcsin(12) - (-1) cdot raiz4 - 1 - 4 arcsin(-12) ]
Simplificando:
12 [ raiz3 + 4 cdot pi6 + raiz3 + 4 cdot (-pi6) ] = 12 [ 2raiz3 ] = raiz3
Então, a integral de raiz4 - x^2 de -1 a 1 é raiz3.

Passo 11

Agora, subtraímos a integral de raiz1 - x^2:
raiz3 - pi2

Resposta

A integral vale raiz3 - dfracpi2.

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