Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em planos bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida para
variando de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
. Isso sugere que estamos lidando com circunferências, já que as expressões
e
são derivadas da equação de uma circunferência
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração. A expressão
representa a parte superior da circunferência com raio
, centrada na origem, enquanto
representa a parte superior da circunferência com raio
, também centrada na origem. Para
entre
e
, o
varia da circunferência menor para a maior. Então, a região de integração é a área entre essas duas semi-circunferências superiores, do
ao
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla. A integral
representa a área dessa região. Como estamos integrando
primeiro, para cada
, estamos somando os valores de
de
a
, e depois somando isso para todos os
de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
. Integrando em relação a
, isso simplesmente resulta na diferença entre os limites de integração:
Passo 6
Agora, a integral se torna:
Isso significa que precisamos calcular a diferença das áreas das duas semi-circunferências entre
e
.
Passo 7
Sabemos que a integral de
de
a
representa a área de um semicírculo com raio
. Nesse caso, temos duas semi-circunferências: uma com raio
e outra com raio
. Porém, estamos integrando apenas de
a
, então precisamos ajustar.
Passo 8
A área da semicírcunferência completa de raio
é
. Mas como estamos integrando de
a
, que é uma parte dessa área, especificamente um segmento central. Para simplificar, podemos calcular a diferença das áreas completas e depois ajustar para os limites dados.
Passo 9
Calculando a integral para
de
a
:
E para
de
a
:
Passo 10
Calculando os valores:
Para
:
Simplificando:
Então, a integral de
de
a
é
.
Passo 11
Agora, subtraímos a integral de
:
Resposta
A integral vale
.
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Represente geometricamente a região
e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando
é rotacionada em torno da reta
.
Calcule
, onde
.
Considere o campo vetorial