Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em planos bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida para variando de a , e para cada valor de , varia de a . Isso sugere que estamos lidando com circunferências, já que as expressões e são derivadas da equação de uma circunferência .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração. A expressão representa a parte superior da circunferência com raio , centrada na origem, enquanto representa a parte superior da circunferência com raio , também centrada na origem. Para entre e , o varia da circunferência menor para a maior. Então, a região de integração é a área entre essas duas semi-circunferências superiores, do ao .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla. A integral representa a área dessa região. Como estamos integrando primeiro, para cada , estamos somando os valores de de a , e depois somando isso para todos os de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro: . Integrando em relação a , isso simplesmente resulta na diferença entre os limites de integração:

Passo 6

Agora, a integral se torna:
Isso significa que precisamos calcular a diferença das áreas das duas semi-circunferências entre e .

Passo 7

Sabemos que a integral de de a representa a área de um semicírculo com raio . Nesse caso, temos duas semi-circunferências: uma com raio e outra com raio . Porém, estamos integrando apenas de a , então precisamos ajustar.

Passo 8

A área da semicírcunferência completa de raio é . Mas como estamos integrando de a , que é uma parte dessa área, especificamente um segmento central. Para simplificar, podemos calcular a diferença das áreas completas e depois ajustar para os limites dados.

Passo 9

Calculando a integral para de a :
E para de a :

Passo 10

Calculando os valores:
Para :
Simplificando:
Então, a integral de de a é .

Passo 11

Agora, subtraímos a integral de :

Resposta

A integral vale .

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