Calcule
integral duplaR sen xx d A
onde R é o triângulo no plano x y delimitado pelo eixo x, pela reta y=x e pela reta x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular no plano . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla, definir os limites de integração corretos para a região triangular e então efetuar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é delimitada pelo eixo , pela reta e pela reta . Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região está entre integralx=0^1 integraly=0^x sin xx , dy , dx e , e para cada fixo, varia de até , podemos escrever a integral como:

Passo 4

Observamos que a função integral0^x sin xx , dy = sin xx cdot (x - 0) = sin x não depende de , então podemos simplificar a integração interna. Integrando em relação a :

Passo 5

Agora, a integral dupla reduziu para uma integral simples:
integral0^1 sin x , dx

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral sin x , dx = -cos x + C
Então, avaliando de -cos(1) + cos(0) = -cos(1) + 1 a :

Resposta

O valor da integral é .

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