Calcule
onde
é
triângulo no plano
delimitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular
no plano
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla, definir os limites de integração corretos para a região triangular e então efetuar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é delimitada pelo eixo
, pela reta
e pela reta
. Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região está entre
e
, e para cada
fixo,
varia de
até
, podemos escrever a integral como:
Passo 4
Observamos que a função
não depende de
, então podemos simplificar a integração interna. Integrando em relação a
:
Passo 5
Agora, a integral dupla reduziu para uma integral simples:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Então, avaliando de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
.
Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
(V) A equação diferencial pøssui duas soluções.
(A ) Wrosnkiano das funções e
é
(V) A equação diferencial
(A ) Wrosnkiano das funções
(V) Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a a forma geral
(V) O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
(V) Vale a seguinte igualdade de operadores ineares:
(V) Vale a seguinte igualdade de operadores ineares:
Encontre as soluções gerais das seguintes equações: