Calcule
onde é triângulo no plano delimitado pelo eixo , pela reta e pela reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular no plano . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla, definir os limites de integração corretos para a região triangular e então efetuar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é delimitada pelo eixo , pela reta e pela reta . Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região está entre e , e para cada fixo, varia de até , podemos escrever a integral como:

Passo 4

Observamos que a função não depende de , então podemos simplificar a integração interna. Integrando em relação a :

Passo 5

Agora, a integral dupla reduziu para uma integral simples:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Então, avaliando de a :

Resposta

O valor da integral é .

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