Calcule
onde
é
triângulo no plano
delimitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular
no plano
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla, definir os limites de integração corretos para a região triangular e então efetuar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é delimitada pelo eixo
, pela reta
e pela reta
. Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região está entre
e
, e para cada
fixo,
varia de
até
, podemos escrever a integral como:
Passo 4
Observamos que a função
não depende de
, então podemos simplificar a integração interna. Integrando em relação a
:
Passo 5
Agora, a integral dupla reduziu para uma integral simples:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Então, avaliando de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.