Encontre as soluções gerais das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem: . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as soluções gerais utilizando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa descobrir. Essa é uma técnica comum para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial , a gente calcula as derivadas:
Então, substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação característica . Isso é igual a:
Então, uma das raízes é .

Passo 5

Mas como a equação é cúbica, ainda temos mais duas raízes. Podemos fatorar como:
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as outras duas raízes são complexas: e .

Passo 6

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é formada por combinações das soluções correspondentes:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Então, juntando tudo, a solução geral é:
onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

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