Encontre as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as soluções gerais utilizando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Essa é uma técnica comum para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial
, a gente calcula as derivadas:
Então, substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação característica
. Isso é igual a:
Então, uma das raízes é
.
Passo 5
Mas como a equação é cúbica, ainda temos mais duas raízes. Podemos fatorar
como:
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as outras duas raízes são complexas:
e
.
Passo 6
Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é formada por combinações das soluções correspondentes:
- Para
: - Para
:
Passo 7
Então, juntando tudo, a solução geral é:
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.