Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
(V) A equação diferencial
pøssui duas soluções.
(A ) Wrosnkiano das funções
e
é
(V) Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a a forma geral
(V) O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
(V) Vale a seguinte igualdade de operadores ineares:
(V) A equação diferencial
(A ) Wrosnkiano das funções
(V) Vale a seguinte igualdade de operadores ineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para indicar quais afirmações são verdadeiras ou falsas sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e justificar as que forem falsas. Vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de EDOs, como soluções, Wronskiano, forma geral das equações e operadores lineares.
Passo 2
Afirmação 1: Verdadeiro.
A equação diferencial possui duas soluções.
A equação diferencial
Justificativa:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Sabemos que tais equações possuem duas soluções linearmente independentes. As soluções gerais podem ser encontradas resolvendo a equação característica , que tem raízes
e
. Assim, as soluções são
e
.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Sabemos que tais equações possuem duas soluções linearmente independentes. As soluções gerais podem ser encontradas resolvendo a equação característica
Passo 3
Afirmação 2: Falso.
Wronskiano das funções e
é
.
Wronskiano das funções
Justificativa:
Para calcular o Wronskiano de duas funções, usamos a fórmula:
Para calcular o Wronskiano de duas funções, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na fórmula:
Expandindo:
Isso não corresponde à expressão dada no enunciado, por isso a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: Falso.
Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma geral .
Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma geral
Justificativa:
A forma geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem é:
A forma geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem é:
No enunciado, o lado direito é
, o que caracteriza uma equação inhomogênea. Portanto, a afirmação está incorreta.
Passo 5
Afirmação 4: Verdadeiro.
O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
Justificativa:
O conjunto de soluções de uma EDO linear homogênea satisfaz as propriedades de fechamento para adição e multiplicação por escalar, além de conter a solução trivial (zero). Isso caracteriza um espaço vetorial.
O conjunto de soluções de uma EDO linear homogênea satisfaz as propriedades de fechamento para adição e multiplicação por escalar, além de conter a solução trivial (zero). Isso caracteriza um espaço vetorial.
Passo 6
Afirmação 5: Verdadeiro.
Vale a seguinte igualdade de operadores lineares: .
Vale a seguinte igualdade de operadores lineares:
Justificativa:
Para verificar a igualdade, aplicamos os operadores em ambos os lados e comparamos:
Para verificar a igualdade, aplicamos os operadores em ambos os lados e comparamos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam na mesma expressão, então os operadores comutam nesse caso específico.
Resposta
- Verdadeiro
- Falso – Justificativa fornecida no Passo 3.
- Falso – Justificativa fornecida no Passo 4.
- Verdadeiro
- Verdadeiro
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Calcule
onde
é
triângulo no plano
delimitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
.
Calcule
onde
é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
.
Encontre as soluções gerais das seguintes equações:
Encontre as soluções gerais das seguintes equações:
(Dica: fatore por agrupamento)