Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
(V) A equação diferencial pøssui duas soluções.
(A ) Wrosnkiano das funções e é
(V) Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a a forma geral
(V) O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
(V) Vale a seguinte igualdade de operadores ineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para indicar quais afirmações são verdadeiras ou falsas sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e justificar as que forem falsas. Vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos de EDOs, como soluções, Wronskiano, forma geral das equações e operadores lineares.

Passo 2

Afirmação 1: Verdadeiro.
A equação diferencial possui duas soluções.
Justificativa:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Sabemos que tais equações possuem duas soluções linearmente independentes. As soluções gerais podem ser encontradas resolvendo a equação característica , que tem raízes e . Assim, as soluções são e .

Passo 3

Afirmação 2: Falso.
Wronskiano das funções e é .
Justificativa:
Para calcular o Wronskiano de duas funções, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na fórmula:
Expandindo:
Isso não corresponde à expressão dada no enunciado, por isso a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: Falso.
Uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma geral .
Justificativa:
A forma geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem é:
No enunciado, o lado direito é , o que caracteriza uma equação inhomogênea. Portanto, a afirmação está incorreta.

Passo 5

Afirmação 4: Verdadeiro.
O espaço de soluções de uma EDO linear homogênea é sempre um espaço vetorial.
Justificativa:
O conjunto de soluções de uma EDO linear homogênea satisfaz as propriedades de fechamento para adição e multiplicação por escalar, além de conter a solução trivial (zero). Isso caracteriza um espaço vetorial.

Passo 6

Afirmação 5: Verdadeiro.
Vale a seguinte igualdade de operadores lineares: .
Justificativa:
Para verificar a igualdade, aplicamos os operadores em ambos os lados e comparamos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam na mesma expressão, então os operadores comutam nesse caso específico.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso – Justificativa fornecida no Passo 3.
  3. Falso – Justificativa fornecida no Passo 4.
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro

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