Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar uma região definida em coordenadas polares. As condições dadas são:
- Ângulo
varia de a (ou seja, de 0 a 180 graus). - O raio
varia de até .
Vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares, que usam
(distância do ponto à origem) e
(ângulo em relação ao eixo positivo x).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o intervalo para
: de
a
. Isso significa que estamos olhando para a metade superior do plano polar, do lado direito até o lado esquerdo do eixo x.
Passo 3
Agora, para o raio
: ele varia de
até
. Isso quer dizer que, para cada ângulo
, o raio começa em
e vai até um valor que depende de
.
Passo 4
Vamos analisar a função
. Sabemos que
varia entre
e
quando
está entre
e
. Então,
varia de
a
.
Passo 5
Para esboçar a região, primeiro desenhamos o círculo interno com raio
(representando
). Depois, desenhamos a curva
, que vai de
a
conforme
varia de
a
.
Passo 6
A área que nos interessa é entre esses dois limites de
, ou seja, entre o círculo interno
e a curva externa
, para todos os ângulos
de
a
.
Resposta
A região descrita em coordenadas polares está localizada na metade superior do plano, entre o círculo de raio
e a curva
, para todo ângulo
que varia de
a
. O esboço mostra uma “faixa” entre essas duas curvas, cobrindo de 0 a 180 graus.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
nas duas ordens de integração. (Dica: Regra do Quociente.)
Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente.
Calcule
sabendo que
e
.
Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão.