Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante jacobiano , sabendo que e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinantes e derivadas parciais. O determinante jacobiano nos ajuda a entender como as variáveis e mudam em relação a e .
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar e em termos de e . Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Passo 3
Vamos usar o método da substituição ou da matriz para resolver o sistema. Aqui, vamos reorganizar as equações:
Multiplicando a equação (1) por 3 e a equação (2) por 2 para eliminar :
Somando as duas equações:
Passo 4
Agora, substituímos o valor de encontrado na equação (1) para encontrar :
Passo 5
Agora que temos e , vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o determinante jacobiano:
Passo 6
O determinante jacobiano é calculado da seguinte forma:
[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =