Calcule partial(x, y)partial(u, v) sabendo que u=3 x-2 y e v=2 x+3 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante jacobiano , sabendo que e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinantes e derivadas parciais. O determinante jacobiano nos ajuda a entender como as variáveis e mudam em relação a e .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar u = 3x - 2y e v = 2x + 3y em termos de e . Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 3

Vamos usar o método da substituição ou da matriz para resolver o sistema. Aqui, vamos reorganizar as equações:
3x - 2y = u (1)
2x + 3y = v (2)
Multiplicando a equação (1) por 3 e a equação (2) por 2 para eliminar 9x - 6y = 3u :
4x + 6y = 2v
13x = 3u + 2v implies x = 3u + 2v13
Somando as duas equações:

Passo 4

Agora, substituímos o valor de 3(3u + 2v13) - 2y = u encontrado na equação (1) para encontrar 9u + 6v13 - u = 2y :
9u + 6v - 13u13 = 2y
-4u + 6v13 = 2y implies y = -4u + 6v26 = -2u + 3v13

Passo 5

Agora que temos partial xpartial u = 313, partial xpartial v = 213 e partial ypartial u = -213, partial ypartial v = 313 , vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o determinante jacobiano:

Passo 6

O determinante jacobiano partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 313 & 213 -213 & 313 é calculado da seguinte forma:
[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =


]

Passo 7

Calculando o determinante:
partial(x, y)partial(u, v) = (313 times 313) - (213 times -213) = 9169 - (-4169) = 9169 + 4169 = 13169 = 113

Resposta

O determinante jacobiano é igual a .

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