Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série infinita
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especificamente p-séries, que são séries da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série que estamos analisando é uma p-série onde o expoente
é 9, ou seja,
. As p-séries são importantes porque têm um critério de convergência bem definido.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o teste da p-série para determinar se a série converge ou diverge. O teste diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 4
No nosso caso,
, que é claramente maior que 1. Portanto, de acordo com o teste da p-série, a série
converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos determinar a sua soma. Para p-séries com valores de
maiores que 1, a soma da s��rie é conhecida como a função zeta de Riemann avaliada em
. Ou seja:
A função zeta de Riemann,
, é uma função especial que aparece em várias áreas da matemática e tem valores conhecidos para certos números inteiros.
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a
, onde
é a função zeta de Riemann.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir
Enuncie o Teste da Divergência.
Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Calcule
onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo
e pela curva
Resp: