Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série infinita converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especificamente p-séries, que são séries da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série que estamos analisando é uma p-série onde o expoente é 9, ou seja, . As p-séries são importantes porque têm um critério de convergência bem definido.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o teste da p-série para determinar se a série converge ou diverge. O teste diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, , que é claramente maior que 1. Portanto, de acordo com o teste da p-série, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos determinar a sua soma. Para p-séries com valores de maiores que 1, a soma da s��rie é conhecida como a função zeta de Riemann avaliada em . Ou seja:
A função zeta de Riemann, , é uma função especial que aparece em várias áreas da matemática e tem valores conhecidos para certos números inteiros.

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a , onde é a função zeta de Riemann.

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