Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma. sumn=1^infty 1n^9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série infinita sumn=1^infty 1n^9 converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especificamente p-séries, que são séries da forma sumn=1^infty 1n^p.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série que estamos analisando é uma p-série onde o expoente p é 9, ou seja, p = 9. As p-séries são importantes porque têm um critério de convergência bem definido.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o teste da p-série para determinar se a série converge ou diverge. O teste diz que:
  • Se p > 1, a série sumn=1^infty 1n^p converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, p = 9, que é claramente maior que 1. Portanto, de acordo com o teste da p-série, a série sumn=1^infty 1n^9 converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos determinar a sua soma. Para p-séries com valores de p maiores que 1, a soma da s��rie é conhecida como a função zeta de Riemann avaliada em p. Ou seja:
sumn=1^infty 1n^9 = zeta(9)
A função zeta de Riemann, zeta(s), é uma função especial que aparece em várias áreas da matemática e tem valores conhecidos para certos números inteiros.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^9 converge e a sua soma é igual a zeta(9), onde zeta é a função zeta de Riemann.

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