Calcule
, onde
e
. Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular
. O enunciado nos pede para fazer isso usando coordenadas polares. Então, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
onde vamos integrar. A região é definida por:
Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio 1.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Substituindo
e
na nossa função
:
Então, nossa integral passa a ser:
Passo 5
Determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos lidando com um quarto de círculo com raio 1:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral
vale
.