Calcule integral duplaR(x^2+y^2) dxdy, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1-x^2. Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . O enunciado nos pede para fazer isso usando coordenadas polares. Então, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1 - x^2 onde vamos integrar. A região é definida por:
Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Substituindo x^2 + y^2 = r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2 e integral duplaR r^2 cdot r , dr,dtheta = integral duplaR r^3 , dr,dtheta na nossa função :
Então, nossa integral passa a ser:

Passo 5

Determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos lidando com um quarto de círculo com raio 1:
r in [0, 1] e theta in [0, pi2]

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr,dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14 :

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

A integral vale .

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