Calcule , onde e . Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . O enunciado nos pede para fazer isso usando coordenadas polares. Então, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde vamos integrar. A região é definida por:
Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Substituindo e na nossa função :
Então, nossa integral passa a ser:

Passo 5

Determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos lidando com um quarto de círculo com raio 1:

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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