Sejam funções que possuem derivadas parciais de primeira ordem. Sabendo que
mostre que e são colineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções e que vão de para . A gente sabe que as derivadas parciais de primeira ordem existem pra essas funções. O que a questão quer que a gente mostre é que os gradientes dessas funções, e , são colineares, ou seja, estão na mesma direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o determinante da matriz jacobiana ser zero. A matriz jacobiana das funções e em relação a e é dada por:
O determinante dessa matriz é:
Passo 3
Quando o determinante de uma matriz 2x2 é zero, isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. No nosso caso:
Isso implica que existe uma constante tal que:
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com os gradientes das funções. O gradiente de é:
E o gradiente de é:
Passo 5
Usando a relação que encontramos no Passo 3, podemos escrever:
Isso mostra que os gradientes e são múltiplos um do outro, ou seja, são colineares.