Sejam f, g: R^2 R funções que possuem derivadas parciais de primeira ordem. Sabendo que
|partial(f, g)partial(x, y)|=0
mostre que nabla f e nabla g são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções e que vão de para . A gente sabe que as derivadas parciais de primeira ordem existem pra essas funções. O que a questão quer que a gente mostre é que os gradientes dessas funções, e , são colineares, ou seja, estão na mesma direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o determinante da matriz jacobiana ser zero. A matriz jacobiana das funções J = partial fpartial x & partial fpartial y partial gpartial x & partial gpartial y e |partial(f, g)partial(x, y)| = partial fpartial x cdot partial gpartial y - partial fpartial y cdot partial gpartial x = 0 em relação a e é dada por:
O determinante dessa matriz é:

Passo 3

Quando o determinante de uma matriz 2x2 é zero, isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. No nosso caso:
partial fpartial x cdot partial gpartial y = partial fpartial y cdot partial gpartial x
Isso implica que existe uma constante partial fpartial x = lambda cdot partial gpartial x e partial fpartial y = lambda cdot partial gpartial y tal que:

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com os gradientes das funções. O gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y )
E o gradiente de é:

Passo 5

Usando a relação que encontramos no Passo 3, podemos escrever:
nabla f = lambda cdot nabla g
Isso mostra que os gradientes e são múltiplos um do outro, ou seja, são colineares.

Resposta

Portanto, mostramos que e são colineares.

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