Sejam funções que possuem derivadas parciais de primeira ordem. Sabendo que
mostre que e são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções e que vão de para . A gente sabe que as derivadas parciais de primeira ordem existem pra essas funções. O que a questão quer que a gente mostre é que os gradientes dessas funções, e , são colineares, ou seja, estão na mesma direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o determinante da matriz jacobiana ser zero. A matriz jacobiana das funções e em relação a e é dada por:
O determinante dessa matriz é:

Passo 3

Quando o determinante de uma matriz 2x2 é zero, isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. No nosso caso:
Isso implica que existe uma constante tal que:

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com os gradientes das funções. O gradiente de é:
E o gradiente de é:

Passo 5

Usando a relação que encontramos no Passo 3, podemos escrever:
Isso mostra que os gradientes e são múltiplos um do outro, ou seja, são colineares.

Resposta

Portanto, mostramos que e são colineares.

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Calcule , onde é a região delimitada pelas parábolas e .
Calcule , onde e . Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule , onde e . Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
Seja e dA. Interprete como um volume (faça um esboço gráfico) e determine o valor de .