Uma partícula se move com função posição
. Determine as componantes tangencial e normal da aceleração.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição depende do tempo, dada por
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática Vetorial, especificamente as componentes tangencial e normal da aceleração. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição para achar a velocidade e a aceleração, e então decompor a aceleração nessas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Para encontrar a componente tangencial da aceleração, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo e projetá-la na direção da velocidade. Primeiro, encontramos a magnitude da velocidade:
Passo 5
A componente tangencial da aceleração,
, é dada por:
Vamos calcular o produto escalar
:
Então,
Passo 6
Agora, para a componente normal da aceleração,
, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Resposta
As componentes da aceleração são:
e
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Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)
(a)
Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(b) .
(b)
A função
é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Calcule
, onde
e
. Utilizar a mudança para coordenadas polares.