Uma partícula se move com função posição . Determine as componantes tangencial e normal da aceleração.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição depende do tempo, dada por . O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática Vetorial, especificamente as componentes tangencial e normal da aceleração. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição para achar a velocidade e a aceleração, e então decompor a aceleração nessas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Para encontrar a componente tangencial da aceleração, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo e projetá-la na direção da velocidade. Primeiro, encontramos a magnitude da velocidade:

Passo 5

A componente tangencial da aceleração, , é dada por:
Vamos calcular o produto escalar :
Então,

Passo 6

Agora, para a componente normal da aceleração, , usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, calculamos :
Então,

Resposta

As componentes da aceleração são:
e

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Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)
Se é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a , onde
(b) .
A função
é uma função diferenciável em ? Justifique sua resposta.
Calcule , onde e . Utilizar a mudança para coordenadas polares.