Calcule , onde é a região delimitada pelas parábolas e .

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região limitada pelas parábolas e . Para resolver isso, vamos precisar descobrir onde essas parábolas se interceptam, definir os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 3:
Então, os pontos de interseção são e . Agora, vamos determinar os valores de correspondentes:
Para :
Para :
Portanto, as parábolas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual parábola está acima da outra na região entre e . Observando as equações:
á
Então, a região está delimitada por variando de a , e para cada , varia de até . Portanto, a integral dupla pode ser expressa como:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo os limites de :
Simplificando cada termo:
Agora, integramos em relação a :
Calculando nos limites e :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral dupla vale .

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