Calcule integral duplaR(x-2 y) dA, onde D é a região delimitada pelas parábolas y=2 x^2 e y=3-x^2.

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral dupla de (x - 2y) sobre a região R limitada pelas parábolas y = 2x^2 e y = 3 - x^2. Para resolver isso, vamos precisar descobrir onde essas parábolas se interceptam, definir os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas y = 2x^2 e y = 3 - x^2. Para isso, igualamos as duas equações:
2x^2 = 3 - x^2
Somando x^2 dos dois lados:
3x^2 = 3
Dividindo por 3:
x^2 = 1 implies x = pm1
Então, os pontos de interseção são x = -1 e x = 1. Agora, vamos determinar os valores de y correspondentes:
Para x = 1:
y = 2(1)^2 = 2 e y = 3 - (1)^2 = 2
Para x = -1:
y = 2(-1)^2 = 2 e y = 3 - (-1)^2 = 2
Portanto, as parábolas se intersectam nos pontos (-1, 2) e (1, 2).

Passo 3

Agora, vamos identificar qual parábola está acima da outra na região entre x = -1 e x = 1. Observando as equações:
y = 3 - x^2 está acima de y = 2x^2 nesse intervalo á
Então, a região R está delimitada por x variando de -1 a 1, e para cada x, y varia de 2x^2 até 3 - x^2. Portanto, a integral dupla pode ser expressa como:
integral duplaR (x - 2y) , dA = integral-1^1 integral2x^2^3 - x^2 (x - 2y) , dy , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a y:
integral2x^2^3 - x^2 (x - 2y) , dy = [ xy - y^2 ]2x^2^3 - x^2
Substituindo os limites de y:
= [ x(3 - x^2) - (3 - x^2)^2 ] - [ x(2x^2) - (2x^2)^2 ]
Simplificando cada termo:
= (3x - x^3 - 9 + 6x^2 - x^4) - (2x^3 - 4x^4)
= 3x - 9 + 6x^2 - 3x^3 + 3x^4
Agora, integramos em relação a x:
integral-1^1 (3x - 9 + 6x^2 - 3x^3 + 3x^4) , dx
= [ 32x^2 - 9x + 2x^3 - 34x^4 + 35x^5 ]-1^1
Calculando nos limites x = 1 e x = -1:
Para x = 1:
32(1)^2 - 9(1) + 2(1)^3 - 34(1)^4 + 35(1)^5 = 32 - 9 + 2 - 34 + 35 = -6920
Para x = -1:
32(-1)^2 - 9(-1) + 2(-1)^3 - 34(-1)^4 + 35(-1)^5 = 32 + 9 - 2 - 34 - 35 = 6920
Subtraindo:
-6920 - 6920 = -13820 = -6,9

Resposta

A integral dupla vale -6,!9.

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