Calcule
, onde
é a região delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
limitada pelas parábolas
e
. Para resolver isso, vamos precisar descobrir onde essas parábolas se interceptam, definir os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por 3:
Então, os pontos de interseção são
e
. Agora, vamos determinar os valores de
correspondentes:
Para
:
Para
:
Portanto, as parábolas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual parábola está acima da outra na região entre
e
. Observando as equações:
Então, a região
está delimitada por
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Portanto, a integral dupla pode ser expressa como:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a
:
Substituindo os limites de
:
Simplificando cada termo:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla vale
.