A função
é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente quando
e quando
. A pergunta é: essa função é diferenciável em
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se as condições para isso são satisfeitas nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear naquele ponto. Mais formalmente,
é diferenciável em
se existirem derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o limite que define a diferenciabilidade existir.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra constante.
Para
:
Para
:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a função realmente pode ser aproximada por um plano linear em
. Para isso, analisamos o limite:
Como
e as derivadas parciais são zero, o limite simplifica para:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão:
Para analisar esse limite, vamos usar coordenadas polares onde
e
. Assim,
.
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
, o termo
tende a zero:
Esse resultado depende de
, o que significa que o limite não é único.
Passo 6
Como o limite depende de
e não tem um único valor quando
, isso indica que o limite original não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser diferenciável em
.
Resposta
Não, a função
não é diferenciável em
porque o limite que define a diferenciabilidade não existe já que depende da direção de abordagem.
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Uma partícula se move com função posição
. Determine as componantes tangencial e normal da aceleração.
Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)
(a)
Calcule
, onde
e
. Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule
, onde
é a região delimitada pelas parábolas
e
.