A função
é uma função diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando e quando . A pergunta é: essa função é diferenciável em ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se as condições para isso são satisfeitas nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear naquele ponto. Mais formalmente, é diferenciável em se existirem derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o limite que define a diferenciabilidade existir.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em . As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra constante.
Para :
Para :
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função realmente pode ser aproximada por um plano linear em . Para isso, analisamos o limite:
Como e as derivadas parciais são zero, o limite simplifica para:

Passo 5

Vamos substituir na expressão:
Para analisar esse limite, vamos usar coordenadas polares onde e . Assim, .
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando , o termo tende a zero:
Esse resultado depende de , o que significa que o limite não é único.

Passo 6

Como o limite depende de e não tem um único valor quando , isso indica que o limite original não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser diferenciável em .

Resposta

Não, a função não é diferenciável em porque o limite que define a diferenciabilidade não existe já que depende da direção de abordagem.

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(a)
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