A função
f(x, y)=ccc 2 x y^2x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
é uma função diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando e quando . A pergunta é: essa função é diferenciável em ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se as condições para isso são satisfeitas nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear naquele ponto. Mais formalmente, é diferenciável em se existirem derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o limite que define a diferenciabilidade existir.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 . As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra constante.
Para :
Para :
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função realmente pode ser aproximada por um plano linear em lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - f(0,0) - fx(0,0)x - fy(0,0)yraizx^2 + y^2 . Para isso, analisamos o limite:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y)raizx^2 + y^2
Como e as derivadas parciais são zero, o limite simplifica para:

Passo 5

Vamos substituir lim(x,y) to (0,0) 2xy^2x^2 + y^4raizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) 2xy^2(x^2 + y^4)raizx^2 + y^2 na expressão:
2(rcostheta)(r^2sin^2theta)(r^2cos^2theta + r^4sin^4theta) cdot r = 2r^3costheta sin^2thetar^3cos^2theta + r^5sin^4theta
Para analisar esse limite, vamos usar coordenadas polares onde 2costheta sin^2thetacos^2theta + r^2sin^4theta e 2costheta sin^2thetacos^2theta = 2 tantheta sin^2theta . Assim, .
Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando , o termo tende a zero:
Esse resultado depende de , o que significa que o limite não é único.

Passo 6

Como o limite depende de e não tem um único valor quando , isso indica que o limite original não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser diferenciável em .

Resposta

Não, a função não é diferenciável em porque o limite que define a diferenciabilidade não existe já que depende da direção de abordagem.

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