Calcule a integral.
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral e algumas identidades trigonométricas que relacionam as funções seno, cosseno e tangente.
Passo 2
Simplificando a expressão: Sabemos que:
Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Passo 3
Usando identidades trigonométricas: Vamos utilizar a identidade
. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 4
Fazendo uma substituição para facilitar a integração: Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
Passo 5
Reescrevendo a integral em termos de
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Realizando a integração termo a termo:
Assim, a integral fica:
Calculando os limites:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o ponto da curva
situado a menor distância da origem.
Calcule
, onde
e
.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
(a) a substituição
(b) a substituição
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Calcule a integral.