Calcule a integral.

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral e algumas identidades trigonométricas que relacionam as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Simplificando a expressão: Sabemos que:
Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Usando identidades trigonométricas: Vamos utilizar a identidade . Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 4

Fazendo uma substituição para facilitar a integração: Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que:

Passo 5

Reescrevendo a integral em termos de :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Realizando a integração termo a termo:
Assim, a integral fica:
Calculando os limites:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine o ponto da curva situado a menor distância da origem.
Calcule , onde e .
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.
Calcule por quatro métodos:
(a) a substituição ,
(b) a substituição ,
© a identidade sen
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Calcule a integral.