Calcule a integral. integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral e algumas identidades trigonométricas que relacionam as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Simplificando a expressão: Sabemos que:
sec theta = 1cos theta e tan theta = sin thetacos theta
Então, podemos reescrever sec^4 theta tan^4 theta = ( 1cos theta )^4 ( sin thetacos theta )^4 = sin^4 thetacos^8 theta da seguinte forma:

Passo 3

Usando identidades trigonométricas: Vamos utilizar a identidade sec^4 theta = (sec^2 theta)^2 = (1 + tan^2 theta)^2 . Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
sec^4 theta tan^4 theta = tan^4 theta (1 + tan^2 theta)^2
Substituindo na expressão anterior:

Passo 4

Fazendo uma substituição para facilitar a integração: Seja du = sec^2 theta dtheta . Então, a derivada de dtheta = dusec^2 theta = du1 + u^2 em relação a é:
Isso implica que:

Passo 5

Reescrevendo a integral em termos de integral0^pi4 sec^4 theta tan^4 theta dtheta = integralu=0^u=1 u^4 (1 + u^2)^2 cdot du1 + u^2 :
= integral0^1 u^4 (1 + u^2) du = integral0^1 (u^4 + u^6) du
Simplificando a expressão:

Passo 6

Realizando a integração termo a termo:
integral u^4 du = u^55 e integral u^6 du = u^77
Assim, a integral fica:
integral0^1 (u^4 + u^6) du = [ u^55 + u^77 ]0^1
Calculando os limites:
= ( 1^55 + 1^77 ) - ( 0^55 + 0^77 ) = 15 + 17 = 1235

Resposta

O valor da integral é .

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