Calcule integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1+y^2 x d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em várias dimensões e seguir a ordem das integrais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral2 y^1+y^2 x , dz = x cdot [ z ]2 y^1+y^2 = x cdot ( (1 + y^2) - 2y ) = x (1 + y^2 - 2y) . A função que estamos integrando é , que não depende de . Então, a integral de em relação a de até é:

Passo 3

Agora, substituímos isso na integral original e passamos para a próxima integração, que é em relação a integral0^1 integral0^1-x x (1 + y^2 - 2y) , dy , dx :
integral0^1-x x (1 + y^2 - 2y) , dy = x integral0^1-x (1 + y^2 - 2y) , dy
Vamos resolver a integral interna em x [ y + y^33 - y^2 ]0^1-x = x ( (1 - x) + (1 - x)^33 - (1 - x)^2 ) :
Integrando termo a termo:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
(1 - x) + (1 - x)^33 - (1 - x)^2 = 1 - x + 1 - 3x + 3x^2 - x^33 - (1 - 2x + x^2)
Vamos combinar os termos:
1 - x + 13 - x + x^2 - x^33 - 1 + 2x - x^2 = 13 + ( -x - x + 2x ) + (x^2 - x^2) - x^33 = 13 - x^33
Então, temos:
x ( 13 - x^33 ) = x3 - x^43

Passo 5

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^1 ( x3 - x^43 ) dx = 13 integral0^1 x , dx - 13 integral0^1 x^4 , dx de 0 a 1:
13 [ x^22 ]0^1 - 13 [ x^55 ]0^1 = 13 cdot 12 - 13 cdot 15 = 16 - 115
Calculando cada integral:

Passo 6

Subtraindo as frações:
16 - 115 = 530 - 230 = 330 = 110

Resposta

A integral tripla vale .

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