Calcule a integral:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, a região
é definida por
e
.
Vamos resolver isso usando integrais iteradas, ou seja, integrar em relação a uma variável de cada vez. Vamos precisar lembrar como aplicar a integral dupla e como separar as integrais quando as funções são multiplicativas, como neste caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples quando a função é produto de termos que dependem apenas de
e apenas de
. Nosso integrando é:
Perceba que
depende só de
e
depende só de
. Isso facilita bastante nossa vida!
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
Estamos separando a integral em duas partes porque as variáveis são independentes dentro da região
.
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Então, a primeira integral vale 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral em
:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Avaliando de 1 a 2:
Então, a segunda integral vale
.
Resposta
Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
Portanto, a integral dupla é igual a
.
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Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta os pontos
,
, na ordem indicada.
Calcule os volumes dos sólidos a seguir. A cunha cortada do cilindro
pelos planos
e
.
Determine
, dado que
e
.
Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
.