Calcule a integral:
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, a região é definida por e .
Vamos resolver isso usando integrais iteradas, ou seja, integrar em relação a uma variável de cada vez. Vamos precisar lembrar como aplicar a integral dupla e como separar as integrais quando as funções são multiplicativas, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples quando a função é produto de termos que dependem apenas de e apenas de . Nosso integrando é:
Perceba que depende só de e depende só de . Isso facilita bastante nossa vida!

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
Estamos separando a integral em duas partes porque as variáveis são independentes dentro da região .

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em :
Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Então, a primeira integral vale 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral em :
A integral de em relação a é o logaritmo natural:
Avaliando de 1 a 2:
Então, a segunda integral vale .

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
Portanto, a integral dupla é igual a .

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onde .