Calcule a integral:
integral duplaR x e^xy d A
onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral duplaR x e^xy , dA
Aqui, a região é definida por e .
Vamos resolver isso usando integrais iteradas, ou seja, integrar em relação a uma variável de cada vez. Vamos precisar lembrar como aplicar a integral dupla e como separar as integrais quando as funções são multiplicativas, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples quando a função é produto de termos que dependem apenas de x e^xy = x e^x cdot 1y e apenas de . Nosso integrando é:
Perceba que depende só de e depende só de . Isso facilita bastante nossa vida!

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
integral duplaR x e^xy , dA = ( integral0^1 x e^x , dx ) cdot ( integral1^2 1y , dy )
Estamos separando a integral em duas partes porque as variáveis são independentes dentro da região .

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em integral0^1 x e^x , dx :
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
  • [ x e^x - e^x ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1 então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Então, a primeira integral vale 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral em integral1^2 1y , dy :
integral 1y , dy = ln|y| + C
A integral de [ ln y ]1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2 em relação a é o logaritmo natural:
Avaliando de 1 a 2:
Então, a segunda integral vale .

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
1 cdot ln 2 = ln 2
Portanto, a integral dupla é igual a .

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