Calcule os volumes dos sólidos a seguir. A cunha cortada do cilindro
pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos calcular o volume da cunha que é cortada do cilindro
pelos planos
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais tripas, utilizando coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com cilindros.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No sistema de coordenadas cilíndricas, as coordenadas são
,
e
, onde
é o raio,
é o ângulo e
é a altura.
Passo 3
O cilindro
em coordenadas cilíndricas é simplesmente
. Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Para
, como estamos lidando com um cilindro completo,
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, analisamos os planos que cortam o cilindro. O plano
é o plano xy, e o plano
em coordenadas cilíndricas fica
. Portanto,
varia de
a 0.
Passo 6
A fórmula para calcular o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos na integral dupla:
Passo 9
Resolvemos a integral em
:
Então, a integral agora é:
Passo 10
Agora, resolvemos a integral em
:
Resposta
O volume da cunha é
. Isso indica que a região descrita não possui volume, possivelmente devido à simetria dos planos que cortam o cilindro.