Calcule os volumes dos sólidos a seguir. A cunha cortada do cilindro pelos planos e .

Passo 1

Vamos calcular o volume da cunha que é cortada do cilindro pelos planos e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais tripas, utilizando coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com cilindros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No sistema de coordenadas cilíndricas, as coordenadas são , e , onde é o raio, é o ângulo e é a altura.

Passo 3

O cilindro em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 4

Para , como estamos lidando com um cilindro completo, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, analisamos os planos que cortam o cilindro. O plano é o plano xy, e o plano em coordenadas cilíndricas fica . Portanto, varia de a 0.

Passo 6

A fórmula para calcular o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos na integral dupla:

Passo 9

Resolvemos a integral em :
Então, a integral agora é:

Passo 10

Agora, resolvemos a integral em :

Resposta

O volume da cunha é . Isso indica que a região descrita não possui volume, possivelmente devido à simetria dos planos que cortam o cilindro.

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