Calcule os volumes dos sólidos a seguir. A cunha cortada do cilindro pelos planos e .
Passo 1
Vamos calcular o volume da cunha que é cortada do cilindro pelos planos e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais tripas, utilizando coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com cilindros.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No sistema de coordenadas cilíndricas, as coordenadas são , e , onde é o raio, é o ângulo e é a altura.
Passo 3
O cilindro em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Portanto, varia de 0 a 1.
Passo 4
Para , como estamos lidando com um cilindro completo, varia de 0 a .
Passo 5
Agora, analisamos os planos que cortam o cilindro. O plano é o plano xy, e o plano em coordenadas cilíndricas fica . Portanto, varia de a 0.
Passo 6
A fórmula para calcular o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral em primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos na integral dupla:
Passo 9
Resolvemos a integral em :
Então, a integral agora é:
Passo 10
Agora, resolvemos a integral em :
Resposta
O volume da cunha é . Isso indica que a região descrita não possui volume, possivelmente devido à simetria dos planos que cortam o cilindro.