Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
sobre a região
definida por
e
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a integração dupla e como inverter a ordem de integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está no primeiro quadrante do plano
, com
indo de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
. Ou seja, a região é um triângulo reto com hipotenusa na linha
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral original:
Mas calcular essa integral nessa ordem pode ser complicado, então vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Passo 4
Ao inverter a ordem, fixamos
primeiro e vemos como
varia. Na região
, para um dado
,
vai de
até 1. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja
, então
. Mas fica complicado, então vamos usar trigonometria. Vamos deixar a integral assim:
Aqui, consideramos
como constante.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
, então
ou
. Porém, como estamos integrando em
, precisamos expressar tudo em termos de
:
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos utilizar coordenadas polares para simplificar a integral. No entanto, a região
é triangular, então em vez disso, vamos integrar diretamente:
Primeiro, observamos que:
Mas isso também não ajuda muito. Então, vamos tentar resolver a integral interna:
Fazendo a substituição
,
, mas ainda fica complicada. Vamos tentar integração por partes.
Passo 8
Após tentativas, percebemos que a melhor abordagem é reconsiderar a ordem de integração ou utilizar uma substituição adequada. Vamos então optar por trocar a ordem novamente e usar uma substituição trigonométrica:
Deixe
, então
.
Substituindo na integral:
Ainda é complicado, então vamos simplificar.
Passo 9
Decidimos seguir com a integração original sem trocar de ordem. Calculamos a integral interna:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo:
Passo 10
Agora, integrando
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 11
Agora, voltamos à integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine
, dado que
e
.
Calcule a integral:
onde
.
Determine o vetor tangente unitário da função vetorial:
Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
é a regiāo limitada por
.