Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
integral duplaR x raizy^2-x^2 d A
onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= y <= 1,0 <= x <= y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaR x raizy^2-x^2 , dA
sobre a região definida por e . Para isso, vamos precisar entender como funciona a integração dupla e como inverter a ordem de integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no primeiro quadrante do plano , com indo de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até . Ou seja, a região é um triângulo reto com hipotenusa na linha .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral original:
integral duplaR x raizy^2-x^2 , dA = integraly=0^1 integralx=0^y x raizy^2-x^2 , dx , dy
Mas calcular essa integral nessa ordem pode ser complicado, então vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.

Passo 4

Ao inverter a ordem, fixamos integralx=0^1 integraly=x^1 x raizy^2-x^2 , dy , dx primeiro e vemos como varia. Na região , para um dado , vai de até 1. Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integraly=x^1 x raizy^2-x^2 , dy . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então . Mas fica complicado, então vamos usar trigonometria. Vamos deixar a integral assim:
Aqui, consideramos como constante.

Passo 6

Vamos fazer a substituição x integralt=0^1 - x^2 raizt cdot dt2raizt + x^2 , então ou . Porém, como estamos integrando em , precisamos expressar tudo em termos de :
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:
Essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos utilizar coordenadas polares para simplificar a integral. No entanto, a região raizy^2 - x^2 = raiz(y - x)(y + x) é triangular, então em vez disso, vamos integrar diretamente:
Primeiro, observamos que:
integraly=x^1 x raizy^2-x^2 , dy
Mas isso também não ajuda muito. Então, vamos tentar resolver a integral interna:
Fazendo a substituição , , mas ainda fica complicada. Vamos tentar integração por partes.

Passo 8

Após tentativas, percebemos que a melhor abordagem é reconsiderar a ordem de integração ou utilizar uma substituição adequada. Vamos então optar por trocar a ordem novamente e usar uma substituição trigonométrica:
Deixe integraly=x^1 x raizx^2 sec^2theta - x^2 cdot x sec theta tan theta , dtheta = x^3 integraltheta=0^sec^-1(1/x) tan^2 theta , dtheta , então .
Substituindo na integral:
Ainda é complicado, então vamos simplificar.

Passo 9

Decidimos seguir com a integração original sem trocar de ordem. Calculamos a integral interna:
integralx=0^y x raizy^2-x^2 , dx
Fazemos a substituição -12 integralu=y^2^0 raizu , du = 12 integral0^y^2 raizu , du , então ou .
Quando , .
Quando , .
Substituindo:

Passo 10

Agora, integrando 12 [ 23 u^3/2 ]0^y^2 = 13 ( y^3 ) = 13 y^3 :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 11

Agora, voltamos à integral externa:
integraly=0^1 13 y^3 , dy = 13 integral0^1 y^3 , dy = 13 [ y^44 ]0^1 = 13 cdot 14 = 112

Resposta

O valor da integral é .

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