Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta os pontos , , na ordem indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando um objeto se move ao longo de um caminho triangular que conecta os pontos , e nessa ordem. Vamos precisar usar o conceito de integral de linha para calcular esse trabalho. Basicamente, vamos integrar o campo de força ao longo de cada trecho do caminho e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho triangular em dois segmentos:
  1. Segmento 1: de a
  2. Segmento 2: de a
  3. Segmento 3: de de volta a (para fechar o triângulo)
Vamos parametrizar cada segmento para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Segmento 1: De a
Podemos parametrizar esse caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Então, as derivadas são:
Segmento 2: De a
Parametrização:
Derivadas:
Segmento 3: De a
Parametrização:
Derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral para cada segmento usando a fórmula do trabalho:
Onde é o campo de força e é o vetor deslocamento.
Segmento 1:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 2:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 3:
Produto escalar:
Integral:

Passo 5

Agora, vamos somar os trabalhos de cada segmento para obter o trabalho total:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho triangular é:
Aproximando os valores numéricos:

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onde .
Determine , dado que e .