Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta os pontos
,
, na ordem indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
quando um objeto se move ao longo de um caminho triangular que conecta os pontos
,
e
nessa ordem. Vamos precisar usar o conceito de integral de linha para calcular esse trabalho. Basicamente, vamos integrar o campo de força ao longo de cada trecho do caminho e somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o caminho triangular em dois segmentos:
- Segmento 1: de
a - Segmento 2: de
a - Segmento 3: de
de volta a (para fechar o triângulo)
Vamos parametrizar cada segmento para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Segmento 1: De
a
Podemos parametrizar esse caminho usando um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Então, as derivadas são:
Segmento 2: De
a
Parametrização:
Derivadas:
Segmento 3: De
a
Parametrização:
Derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral para cada segmento usando a fórmula do trabalho:
Onde
é o campo de força e
é o vetor deslocamento.
Segmento 1:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 2:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 3:
Produto escalar:
Integral:
Passo 5
Agora, vamos somar os trabalhos de cada segmento para obter o trabalho total:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho triangular é:
Aproximando os valores numéricos:
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Calcule os volumes dos sólidos a seguir. A cunha cortada do cilindro
pelos planos
e
.
Encontre a área delimitada pelas retas e curvas dadas: A parábola
e a reta
Calcule a integral:
onde
.
Determine
, dado que
e
.