Determine r(t), dado que r'(t) = 3 t^2 i - 8 t j + 8 t^3 k e r(1) = 3i + 7k.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a função vetorial , sabendo que a sua derivada e que em , . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de funções vetoriais, e aplicar a condição inicial para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada componente da derivada em relação a para encontrar .
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :

Passo 3

Assim, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes , e .
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Igualando as componentes:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, a função é:

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