Calcule
, onde R é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo y .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Basicamente, estamos lidando com uma integral sobre uma região semicircular, e vamos precisar usar coordenadas polares pra facilitar a resolução, já que temos
no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O semicírculo
representa a parte direita de um círculo de raio 2 (porque
) centrado na origem. Então,
é o semicírculo à direita do eixo
, onde
e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos separar as integrais:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral em
:
Podemos usar a substituição
, então
:
Passo 7
Como a integral em
deu zero, qualquer que seja o resultado da integral em
, o produto final será zero.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Ache a diferencial total
.
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
b)
b)
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
a)
a)
A distância de Plutão até o Sol é
no periélio e
no afélio. Encontre a excentricidade da órbita de Plutão.