Calcule integral duplaR x y e^-x^2-y^2 d A, onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelo semicírculo e pelo eixo . Basicamente, estamos lidando com uma integral sobre uma região semicircular, e vamos precisar usar coordenadas polares pra facilitar a resolução, já que temos no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . O semicírculo representa a parte direita de um círculo de raio 2 (porque ) centrado na origem. Então, é o semicírculo à direita do eixo , onde e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral duplaR x y e^-x^2-y^2 , dA = integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 (r costheta)(r sintheta) e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral-pi2^pi2 integral0^2 r^3 sintheta costheta , e^-r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos separar as integrais:
= ( integral-pi2^pi2 sintheta costheta , dtheta ) cdot ( integral0^2 r^3 e^-r^2 , dr )
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral em integral-pi2^pi2 sintheta costheta , dtheta :
= integral-1^1 u , du = [ u^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Podemos usar a substituição , então :

Passo 7

Como a integral em deu zero, qualquer que seja o resultado da integral em , o produto final será zero.

Resposta

O valor da integral é .

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