A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
b) f(x, y) = x / (x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é . Sabemos que ela é descontínua na origem porque não está definida. Nosso objetivo é determinar se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos redefinir para tornar a função contínua nesse ponto.

Passo 2

Para saber se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de . Ou seja, vamos calcular o limite de quando .

Passo 3

Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam à origem para ver se o resultado é o mesmo em todos eles.
  1. Caminho ao longo do eixo x (onde ):
    Esse limite tende para infinito, ou seja, não existe um valor finito.
  2. Caminho ao longo da linha :
    Novamente, esse limite tende para infinito.

Passo 4

Como os limites ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de não são iguais (neste caso, ambos tendem para infinito, mas de forma inconsistente), concluímos que o limite geral de quando não existe.

Resposta

A descontinuidade na origem é essencial.

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