A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é
. Sabemos que ela é descontínua na origem
porque
não está definida. Nosso objetivo é determinar se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos redefinir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Passo 2
Para saber se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de
. Ou seja, vamos calcular o limite de
quando
.
Passo 3
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam à origem para ver se o resultado é o mesmo em todos eles.
-
Caminho ao longo do eixo x (onde
): Esse limite tende para infinito, ou seja, não existe um valor finito. -
Caminho ao longo da linha
: Novamente, esse limite tende para infinito.
Passo 4
Como os limites ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
não são iguais (neste caso, ambos tendem para infinito, mas de forma inconsistente), concluímos que o limite geral de
quando
não existe.
Resposta
A descontinuidade na origem é essencial.
Exercícios relacionados
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
e)
e)
Ache a diferencial total
.
Calcule
, onde R é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo y .