Calcule
onde
é o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um retângulo
definido por
e
. O que estamos fazendo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
Aqui,
é o retângulo definido por
e
. Isso significa que vamos integrar
em relação a
de 1 a 2 e depois em relação a
de 0 a
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
enquanto tratamos
como uma constante. A integral interna fica:
Aqui, podemos usar uma substituição simples onde
, então
, o que simplifica a integral para:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Agora, calculamos cada uma:
Avaliar nos limites:
Resposta
O valor da integral dupla é
.