(2,0) Calcule integral duplaR y sen(x y) d x d y onde R é o retângulo 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um retângulo definido por e . O que estamos fazendo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
integral duplaR y sin(x y) , dx , dy
Aqui, é o retângulo definido por e . Isso significa que vamos integrar em relação a de 1 a 2 e depois em relação a de 0 a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral1^2 y sin(x y) , dx enquanto tratamos integral sin(u) , du = -cos(u) + C = -cos(x y) + C como uma constante. A integral interna fica:
-cos(2 y) + cos(y)
Aqui, podemos usar uma substituição simples onde , então , o que simplifica a integral para:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^pi ( -cos(2 y) + cos(y) ) dy :
-integral0^pi cos(2 y) , dy + integral0^pi cos(y) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
-[ 12 sin(2 y) ]0^pi + [ sin(y) ]0^pi
Agora, calculamos cada uma:
-( 12 sin(2pi) - 12 sin(0) ) + ( sin(pi) - sin(0) ) = - (0 - 0) + (0 - 0) = 0
Avaliar nos limites:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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