Um fazendeiro que pesa 150 libras carrega um saco de grãos pesando 20 libras para cima numa escala helicoidal circular de raio igual a 25 pés em torno de um silo. À medida que o fazendeiro sobe, os grãos vazam do saco à razão de 1 libra por 10 pés de subida. Qual o trabalho executado pelo fazendeiro subindo uma distância vertical de 60 pés em exatamente quatro revoluções?[Sugestão: Encontre um campo vetorial que represente a força exercida pelo fazendeiro para levantar seu próprio peso mais o peso do saco para cima em cada ponto do trajeto.] (Ex 56)
Passo 1
Ok, vamos entender o que o problema está pedindo. Um fazendeiro de 150 libras está subindo uma rampa helicoidal circular com raio de 25 pés, carregando um saco de grãos que pesa inicialmente 20 libras. Conforme ele sobe, os grãos vão vazando do saco a uma taxa de 1 libra a cada 10 pés de subida. Precisamos calcular o trabalho que ele realiza ao subir 60 pés verticalmente, fazendo exatamente quatro voltas na rampa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho em física, considerando a variação da força ao longo da subida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual força o fazendeiro está exercendo para subir. Ele está levantando o próprio peso (150 lb) mais o peso do saco de grãos. Porém, como os grãos estão vazando, o peso do saco diminui conforme ele sobe. Precisamos expressar essa força total como uma função da altura que ele sobe.
Passo 3
Vamos determinar como o peso do saco muda com a altura. Sabemos que os grãos vazam a uma taxa de 1 libra a cada 10 pés de subida. Então, se ele sobe
pés, o peso do saco será:
Isso significa que a cada 10 pés, o saco perde 1 libra.
Passo 4
Agora, somamos o peso do fazendeiro e o peso variável do saco para encontrar a força total que ele está exercendo:
Então, a força total depende da altura
que ele já subiu.
Passo 5
O trabalho realizado é a integral da força em relação à distância vertical. Como a força varia com
, vamos integrar
de 0 a 60 pés:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
O trabalho realizado pelo fazendeiro ao subir 60 pés é de 10.020 lb·ft.