Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.2.
7.2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que basicamente mede o “trabalho” de um campo vetorial ao longo de uma curva. A função que vamos integrar é
, e a curva
é definida por
e
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois substituir na integral para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
usando o parâmetro
. Já temos as expressões de
e
em função de
:
O próximo passo é encontrar as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para substituir na integral.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Essas derivadas nos ajudam a expressar
e
em termos de
, facilitando a substituição na integral original.
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na integral:
Vamos simplificar essas expressões para facilitar o cálculo.
Passo 5
Simplificando os termos dentro das integrais:
E a segunda parte fica:
Então a integral completa fica:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
Segundo:
E terceiro:
Vamos resolver as duas últimas.
Passo 7
Para
:
E para
:
Resposta
Somando todas as partes, a integral de linha ao longo da curva
é: