Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.2. integralc(x^2-y^2) cdot d x+x cdot d y
C: x=t^2 / 3, y=t (-1 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que basicamente mede o “trabalho” de um campo vetorial ao longo de uma curva. A função que vamos integrar é , e a curva é definida por e , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois substituir na integral para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = t^2/3, y(t) = t usando o parâmetro . Já temos as expressões de e em função de :
O próximo passo é encontrar as derivadas de e em relação a , que são necessárias para substituir na integral.

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = 23t^-1/3, dydt = 1
Essas derivadas nos ajudam a expressar e em termos de , facilitando a substituição na integral original.

Passo 4

Agora, substituímos integralC (x^2 - y^2) dx + x , dy = integral-1^1 ((t^2/3)^2 - t^2) cdot 23t^-1/3 dt + integral-1^1 t^2/3 cdot 1 , dt , , e na integral:
Vamos simplificar essas expressões para facilitar o cálculo.

Passo 5

Simplificando os termos dentro das integrais:
(t^4/3 - t^2) cdot 23t^-1/3 = 23(t^4/3 - 1/3 - t^2 - 1/3) = 23(t^1 - t^5/3)
E a segunda parte fica:
t^2/3
Então a integral completa fica:
23 integral-1^1 (t - t^5/3) dt + integral-1^1 t^2/3 dt

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
23 integral-1^1 t , dt = 23 [ t^22 ]-1^1 = 23 ( 12 - 12 ) = 0
Segundo:
23 integral-1^1 -t^5/3 , dt = -23 integral-1^1 t^5/3 dt
E terceiro:
integral-1^1 t^2/3 dt
Vamos resolver as duas últimas.

Passo 7

Para -23 [ t^8/38/3 ]-1^1 = -23 cdot 38 (1^8/3 - (-1)^8/3) = -14 (1 - 1) = 0 :
[ t^5/35/3 ]-1^1 = 35 (1^5/3 - (-1)^5/3) = 35 (1 - (-1)) = 35 times 2 = 65
E para :

Resposta

Somando todas as partes, a integral de linha ao longo da curva 65 é:

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