Calcule o limite
lim x -infty raiz2 x^2+13 x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -infty raiz2 x^2+13 x-5
Esse exercício pertence ao conteúdo de Limites de funções, especialmente lidando com funções que envolvem raízes quadradas e polinômios. Para resolver, a gente vai precisar entender como as funções se comportam quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando vai para menos infinito.
No numerador temos . Quando é muito grande (em valor absoluto), o domina o , então podemos simplificar essa parte.

Passo 3

Vamos fatorar raiz2x^2 + 1 = raizx^2 (2 + 1x^2) = |x| raiz2 + 1x^2 dentro da raiz:
raiz2x^2 + 1 = -x raiz2 + 1x^2
Como está indo para menos infinito ( negativo), o módulo é igual a . Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão no limite original:
lim x -infty -x raiz2 + 1x^23x - 5
Podemos fatorar 3x - 5 = x (3 - 5x) no denominador:
lim x -infty -x raiz2 + 1x^2x (3 - 5x)
Então, o limite fica:

Passo 5

Os termos lim x -infty -raiz2 + 1x^23 - 5x no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando -raiz2 + 03 - 0 = -raiz23 vai para menos infinito:
  • tende a 0.
  • também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é:
lim x -infty raiz2 x^2+13 x-5 = -raiz23

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