2,0 Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação. O tubo circular reto tem raio raiz(2) m. A velocidade do escoamento, em m/s, é dada por w(x, y) = 2 - x^2 - y^2. Qual a velocidade média do escoamento?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um tubo circular reto com raio metros e uma velocidade de escoamento dada por . Vamos precisar calcular a velocidade média do escoamento nessa seção transversal do tubo. Para isso, vamos integrar a função de velocidade sobre a área da seção e depois dividir pela área total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. Como o tubo é circular, a área é dada por:
Então, a área da seção é metros quadrados.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral da velocidade sobre a área da seção. A velocidade é dada por . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde:
Nessas coordenadas, a função de velocidade fica:
E o elemento de área é:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :
Então, a integral total da velocidade sobre a área é .

Passo 6

Para encontrar a velocidade média é, dividimos a integral da velocidade pela área total:
é

Resposta

A velocidade média do escoamento é m/s.

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