Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação. O tubo circular reto tem raio
. A velocidade do escoamento, em
, é dada por
. Qual a velocidade média do escoamento?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos um tubo circular reto com raio
metros e uma velocidade de escoamento dada por
. Vamos precisar calcular a velocidade média do escoamento nessa seção transversal do tubo. Para isso, vamos integrar a função de velocidade sobre a área da seção e depois dividir pela área total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. Como o tubo é circular, a área
é dada por:
Então, a área da seção é
metros quadrados.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral da velocidade sobre a área da seção. A velocidade é dada por
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde:
Nessas coordenadas, a função de velocidade fica:
E o elemento de área é:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Então, a integral total da velocidade sobre a área é
.
Passo 6
Para encontrar a velocidade média
, dividimos a integral da velocidade pela área total:
Resposta
A velocidade média do escoamento é
m/s.