Calcule
onde
é o retângulo
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde
é o retângulo definido por
e
. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, precisaremos entender como calcular integrais dentro de retângulos e como trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. O retângulo
e
significa que
varia de 1 a 2 e, para cada valor de
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla de forma iterada, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Para isso, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 6
Agora, nossa integral dupla reduz-se a:
No entanto, essa integral é complicada de resolver diretamente. Então, vamos trocar a ordem de integração para simplificar.
Passo 7
Reescrevendo a integral trocando a ordem de integração:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Multiplicando por
e simplificando:
Agora, a integral torna-se:
Passo 9
Integramos cada termo separadamente:
Avaliando de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
©
©
Sejam
Use a regra de cadeia e calcule
e
.
Considere a função
.
(b) Calcule
(b) Calcule
Seja
uma função de duas variáveis. Calcule
se
(b)
(b)