Calcule integral duplaR ymu undersetsen(x y)vee d A onde R é o retângulo 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= pi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaR y sin(x y) , dA, onde R é o retângulo definido por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= pi. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, precisaremos entender como calcular integrais dentro de retângulos e como trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R. O retângulo 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= pi significa que x varia de 1 a 2 e, para cada valor de x, y varia de 0 a pi.

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla de forma iterada, integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x:
integral duplaR y sin(x y) , dA = integralx=1^2 integraly=0^pi y sin(x y) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a y. Para isso, usamos integração por partes, onde:
u = y Rightarrow du = dy
dv = sin(x y) , dy Rightarrow v = -cos(x y)x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y sin(x y) , dy = -y cos(x y)x + sin(x y)x^2

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão de y=0 a y=pi:
[ -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 ] - [ -0 cos(0)x + sin(0)x^2 ] = -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2

Passo 6

Agora, nossa integral dupla reduz-se a:
integralx=1^2 ( -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 ) dx
No entanto, essa integral é complicada de resolver diretamente. Então, vamos trocar a ordem de integração para simplificar.

Passo 7

Reescrevendo a integral trocando a ordem de integração:
integral duplaR y sin(x y) , dA = integraly=0^pi integralx=1^2 y sin(x y) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integralx=1^2 y sin(x y) , dx = [ -cos(x y)y ]1^2 = -cos(2 y)y + cos(y)y

Passo 8

Multiplicando por y e simplificando:
-cos(2 y)y cdot y + cos(y)y cdot y = -cos(2 y) + cos(y)
Agora, a integral torna-se:
integraly=0^pi ( -cos(2 y) + cos(y) ) dy

Passo 9

Integramos cada termo separadamente:
-integral cos(2 y) , dy + integral cos(y) , dy = -sin(2 y)2 + sin(y)
Avaliando de 0 a pi:
( -sin(2pi)2 + sin(pi) ) - ( -sin(0)2 + sin(0) ) = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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