Calcule onde é o retângulo e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde é o retângulo definido por e . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, precisaremos entender como calcular integrais dentro de retângulos e como trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . O retângulo e significa que varia de 1 a 2 e, para cada valor de , varia de 0 a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla de forma iterada, integrando primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Para isso, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 6

Agora, nossa integral dupla reduz-se a:
No entanto, essa integral é complicada de resolver diretamente. Então, vamos trocar a ordem de integração para simplificar.

Passo 7

Reescrevendo a integral trocando a ordem de integração:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Multiplicando por e simplificando:
Agora, a integral torna-se:

Passo 9

Integramos cada termo separadamente:
Avaliando de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule os seguintes limites
©
Sejam
Use a regra de cadeia e calcule e .
Considere a função .
(b) Calcule
Seja uma função de duas variáveis. Calcule se
(b)