Sejam w=x^2+y^2-z^2 e
x=rho sen phi cos theta, y=rho sen phi sen theta, z=rho cos phi
Use a regra de cadeia e calcule partial w / partial rho e partial w / partial theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função x = rho sin phi cos theta, y = rho sin phi sin theta, z = rho cos phi e as relações das coordenadas cartesianas em termos das coordenadas esféricas :
O que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como cada variável depende das outras e aplicar a derivação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir w = (rho sin phi cos theta)^2 + (rho sin phi sin theta)^2 - (rho cos phi)^2 na expressão de pelas fórmulas em termos de :
Isso ajuda a gente a ver diretamente em função de e .

Passo 3

Agora, vamos desenvolver os termos quadrados:
w = rho^2 sin^2 phi cos^2 theta + rho^2 sin^2 phi sin^2 theta - rho^2 cos^2 phi
Aqui, expandimos cada termo para facilitar a derivação.

Passo 4

Perceba que em todos os termos temos w = rho^2 (sin^2 phi cos^2 theta + sin^2 phi sin^2 theta - cos^2 phi) como fator comum. Vamos fatorar isso:
w = rho^2 (sin^2 phi cdot 1 - cos^2 phi) = rho^2 (sin^2 phi - cos^2 phi)
Depois, observamos que , então:
Isso simplifica bastante a expressão de .

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada parcial de w = rho^2 (sin^2 phi - cos^2 phi) em relação a partial wpartial rho = 2rho (sin^2 phi - cos^2 phi) , ou seja, .
A expressão simplificada de é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante, já que não depende de :
Isso é direto usando a regra de derivação básica.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w = x^2 + y^2 - z^2 em relação a partial wpartial theta = 2x partial xpartial theta + 2y partial ypartial theta - 2z partial zpartial theta , ou seja, partial wpartial theta = 2x partial xpartial theta + 2y partial ypartial theta .
Voltando à expressão original de partial xpartial theta = -rho sin phi sin theta, partial ypartial theta = rho sin phi cos theta :
partial wpartial theta = 2 (rho sin phi cos theta)(- rho sin phi sin theta) + 2 (rho sin phi sin theta)(rho sin phi cos theta)
E lembrando que partial wpartial theta = -2 rho^2 sin^2 phi cos theta sin theta + 2 rho^2 sin^2 phi sin theta cos theta = 0 , que não depende de . Portanto, apenas e dependem de .
Aplicando a regra da cadeia:
Como (pois não depende de ), temos:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Substituindo de volta:
Simplificando:
As duas partes se cancelam, resultando em zero.

Resposta

partial wpartial rho = 2rho (sin^2 phi - cos^2 phi)
partial wpartial theta = 0

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