Sejam
Use a regra de cadeia e calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e as relações das coordenadas cartesianas
em termos das coordenadas esféricas
:
O que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como cada variável depende das outras e aplicar a derivação corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão de
pelas fórmulas em termos de
:
Isso ajuda a gente a ver
diretamente em função de
e
.
Passo 3
Agora, vamos desenvolver os termos quadrados:
Aqui, expandimos cada termo para facilitar a derivação.
Passo 4
Perceba que em todos os termos temos
como fator comum. Vamos fatorar isso:
Depois, observamos que
, então:
Isso simplifica bastante a expressão de
.
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A expressão simplificada de
é:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante, já que não depende de
:
Isso é direto usando a regra de derivação básica.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Voltando à expressão original de
:
E lembrando que
, que não depende de
. Portanto, apenas
e
dependem de
.
Aplicando a regra da cadeia:
Como
(pois
não depende de
), temos:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
As duas partes se cancelam, resultando em zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(d) A função é contínua em
. Justifique a sua resposta.
(d) A função
Considere a função
.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Calcule os seguintes limites
©
©
Calcule
onde
é o retângulo
e
.