Sejam
Use a regra de cadeia e calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e as relações das coordenadas cartesianas em termos das coordenadas esféricas :
O que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como cada variável depende das outras e aplicar a derivação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão de pelas fórmulas em termos de :
Isso ajuda a gente a ver diretamente em função de e .

Passo 3

Agora, vamos desenvolver os termos quadrados:
Aqui, expandimos cada termo para facilitar a derivação.

Passo 4

Perceba que em todos os termos temos como fator comum. Vamos fatorar isso:
Depois, observamos que , então:
Isso simplifica bastante a expressão de .

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A expressão simplificada de é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante, já que não depende de :
Isso é direto usando a regra de derivação básica.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Voltando à expressão original de :
E lembrando que , que não depende de . Portanto, apenas e dependem de .
Aplicando a regra da cadeia:
Como (pois não depende de ), temos:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Substituindo de volta:
Simplificando:
As duas partes se cancelam, resultando em zero.

Resposta

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Considere a função .
(d) A função é contínua em . Justifique a sua resposta.
Considere a função .
(a) Calcule .
Calcule os seguintes limites
©
Calcule onde é o retângulo e .