Então, a gente tem que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrado com lados de 0 a 1 tanto no eixo quanto no eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e lidar com valores absolutos. Vamos dividir isso em partes mais simples para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região como um quadrado no plano , onde tanto quanto variam de 0 a 1. A função que estamos integrando é , que representa a distância vertical entre os pontos e na diagonal do quadrado.
Passo 3
Como temos o valor absoluto , precisamos considerar duas situações:
Quando , ou seja, acima da diagonal , .
Quando , ou seja, abaixo da diagonal , .
Passo 4
Vamos dividir a integral dupla em duas partes, correspondentes a essas duas regiões:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente. Começando pela primeira parte, onde :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 6
Agora, calculamos a segunda parte, onde integral0^1 integralx^1 (y - x) , dy , dx :
integralx^1 (y - x) , dy = y^22 - x y |x^1 = (12 - x) - (x^22 - x^2) = 12 - x - x^22 + x^2 = 12 - x + x^22
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (12 - x + x^22) , dx = 12x - x^22 + x^36 |0^1 = 12 - 12 + 16 = 16 :
Agora, integramos em relação a :
Resposta
Somando as duas partes, temos:
16 + 16 = 13
Portanto, o valor da integral dupla sobre o quadrado é .