Calcule integral duplaR|x-y| d A, onde R é o quadrado [0,1] times[0,1];

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrado com lados de 0 a 1 tanto no eixo quanto no eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e lidar com valores absolutos. Vamos dividir isso em partes mais simples para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região como um quadrado no plano , onde tanto quanto variam de 0 a 1. A função que estamos integrando é , que representa a distância vertical entre os pontos e na diagonal do quadrado.

Passo 3

Como temos o valor absoluto , precisamos considerar duas situações:
  1. Quando , ou seja, acima da diagonal , .
  2. Quando , ou seja, abaixo da diagonal , .

Passo 4

Vamos dividir a integral dupla em duas partes, correspondentes a essas duas regiões:
integral duplaR |x - y| , dA = integral duplax >= y (x - y) , dy , dx + integral duplax < y (y - x) , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Começando pela primeira parte, onde integral0^1 integral0^x (x - y) , dy , dx :
integral0^x (x - y) , dy = x y - y^22 |0^x = x^2 - x^22 = x^22
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 x^22 , dx = 12 cdot x^33 |0^1 = 16 :
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda parte, onde integral0^1 integralx^1 (y - x) , dy , dx :
integralx^1 (y - x) , dy = y^22 - x y |x^1 = (12 - x) - (x^22 - x^2) = 12 - x - x^22 + x^2 = 12 - x + x^22
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (12 - x + x^22) , dx = 12x - x^22 + x^36 |0^1 = 12 - 12 + 16 = 16 :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
16 + 16 = 13
Portanto, o valor da integral dupla sobre o quadrado é .

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