Calcule , onde é o quadrado ;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrado com lados de 0 a 1 tanto no eixo quanto no eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e lidar com valores absolutos. Vamos dividir isso em partes mais simples para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região como um quadrado no plano , onde tanto quanto variam de 0 a 1. A função que estamos integrando é , que representa a distância vertical entre os pontos e na diagonal do quadrado.

Passo 3

Como temos o valor absoluto , precisamos considerar duas situações:
  1. Quando , ou seja, acima da diagonal , .
  2. Quando , ou seja, abaixo da diagonal , .

Passo 4

Vamos dividir a integral dupla em duas partes, correspondentes a essas duas regiões:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Começando pela primeira parte, onde :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda parte, onde :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral dupla sobre o quadrado é .

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cada caso, escreva a has duas ordeus: ;
é a regiã delimitada pos: e ;
cada caso, escreva a has duas ordeus: ;
é a reqião delinuitada pos: ;
Im cada caso, idenfique a regiấ do plano- que:
maximize a
Em coda caso, a integral dupla iterada dada, uā pode ses calculada na ardeur de integroção apresentada. Use o Tearema de Fubimi (1879-1943), inverta corretaurente a osdeur de integra- ção, e calcule-a: