varepsilonm cada caso, escreva a integral duplaR F(x, y) d A has duas ordeus: d x d y e d y d x;
F(x, y)=y^2x^2 ; R é a regiã delimitada pos: y=2 ; y=x ; e x y=1;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos expressar a integral dupla integral duplaR F(x, y) , dA, onde F(x, y) = y^2x^2, sobre a região R delimitada por y=2, y=x e xy=1. Além disso, precisamos configurar essa integral nas duas ordens de integração possíveis: dx , dy e dy , dx. Para isso, vamos precisar identificar os limites de integração para cada ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R delimitada pelas curvas y=2, y=x e xy=1. Desenhar essas curvas nos ajuda a visualizar a área de integração:
  • y=2: Uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto (0, 2).
  • y=x: Uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45°.
  • xy=1: Uma hipérbole que aparece nos quadrantes onde x e y são positivos.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração:
  1. Interseção entre y=2 e y=x:
    • Substituindo y=2 em y=x, temos x=2.
    • Ponto de interseção: (2, 2).
  2. Interseção entre y=2 e xy=1:
    • Substituindo y=2 em xy=1, temos x = 12.
    • Ponto de interseção: (12, 2).
  3. Interseção entre y=x e xy=1:
    • Substituindo y=x em xy=1, temos x^2 = 1, então x=1.
    • Ponto de interseção: (1, 1).

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, podemos esboçar a região R. Ela é limitada pelas curvas mencionadas e forma uma área específica no primeiro quadrante. Esse esboço nos ajudará a determinar os limites de integração para cada ordem.

Passo 5

Vamos configurar a integral na ordem dy , dx primeiro:
  1. Determinar os limites para x:
    • Observamos que x varia de 12 a 2.
  2. Determinar os limites para y:
    • Para cada x nesse intervalo, y varia de y = 1x (da hipérbole) até y = 2 (a linha horizontal).
Então, a integral na ordem dy , dx fica:
integralx=12^2 integraly=1x^2 y^2x^2 , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral na ordem dx , dy:
  1. Determinar os limites para y:
    • Observamos que y varia de 1 a 2.
  2. Determinar os limites para x:
    • Para cada y nesse intervalo, x varia de x = 1y (da hipérbole) até x = y (a linha y=x).
Então, a integral na ordem dx , dy fica:
integraly=1^2 integralx=1y^y y^2x^2 , dx , dy

Resposta

A integral dupla integral duplaR y^2x^2 , dA sobre a região R pode ser escrita nas duas ordens de integração da seguinte forma:
Na ordem dy , dx:
integral12^2 integral1x^2 y^2x^2 , dy , dx
E na ordem dx , dy:
integral1^2 integral1y^y y^2x^2 , dx , dy

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