cada caso, escreva a
has duas ordeus:
;
é a regiã delimitada pos:
e
;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos expressar a integral dupla
, onde
, sobre a região
delimitada por
,
e
. Além disso, precisamos configurar essa integral nas duas ordens de integração possíveis:
e
. Para isso, vamos precisar identificar os limites de integração para cada ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Desenhar essas curvas nos ajuda a visualizar a área de integração:
-
: Uma linha horizontal que corta o eixo no ponto . -
: Uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45°. -
: Uma hipérbole que aparece nos quadrantes onde e são positivos.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração:
-
Interseção entre
e : - Substituindo
em , temos . - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
-
Interseção entre
e : - Substituindo
em , temos . - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
-
Interseção entre
e : - Substituindo
em , temos , então . - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos esboçar a região
. Ela é limitada pelas curvas mencionadas e forma uma área específica no primeiro quadrante. Esse esboço nos ajudará a determinar os limites de integração para cada ordem.
Passo 5
Vamos configurar a integral na ordem
primeiro:
-
Determinar os limites para
: - Observamos que
varia de a .
- Observamos que
-
Determinar os limites para
: - Para cada
nesse intervalo, varia de (da hipérbole) até (a linha horizontal).
- Para cada
Então, a integral na ordem
fica:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral na ordem
:
-
Determinar os limites para
: - Observamos que
varia de a .
- Observamos que
-
Determinar os limites para
: - Para cada
nesse intervalo, varia de (da hipérbole) até (a linha ).
- Para cada
Então, a integral na ordem
fica:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
pode ser escrita nas duas ordens de integração da seguinte forma:
Na ordem
:
E na ordem
: