Im cada caso, idenfique a regiấ R do plano- x y que:
maximize a integral duplaR(4-2 x^2-y^2) d A ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar a região no plano que maximiza a integral dupla . Vamos usar conhecimentos de cálculo e geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa maximizar essa integral. A integral dupla representa o volume sob a superfície sobre a região . Para maximizar esse volume, queremos que a região cubra todas as áreas onde a função é positiva, ou seja, onde .

Passo 3

Vamos resolver a inequação 4 - 2x^2 - y^2 >= 0 2x^2 + y^2 <= 4 :
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 4

Para entender melhor a forma da elipse, podemos dividir a inequação por 4:
2x^24 + y^24 <= 1 x^22 + y^24 <= 1
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento na direção e 2 na direção .

Passo 5

Portanto, a região R = (x, y) in R^2 , g| , x^22 + y^24 <= 1 que maximiza a integral é toda a área dentro dessa elipse:

Resposta

A região que maximiza a integral é a elipse definida por no plano .

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