varepsilonm cada caso, escreva a integral duplaR F(x, y) d A has duas ordeus: d x d y e d y d x;
f(x, y)=x cos y ; R é a reqião delinuitada pos: x=0 ; y=pi ; ell y=x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região delimitada pelas curvas , e . Além disso, precisamos expressar essa integral em duas ordens diferentes: primeiro integrando em relação a e depois a , e depois o contrário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são:
  • : que é o eixo ;
  • : uma linha horizontal no nível ;
  • : uma linha que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
Vamos desenhar um esboço para visualizar melhor:
  • O eixo ( ) vai de até .
  • A linha vai de até .
Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos montar as integrais duplas em ambas as ordens.
1. Ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^pi integral0^y x cos y , dx , dy :
Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^pi integralx^pi x cos y , dy , dx e depois em relação a .
  • Para um valor fixo de , varia de até (porque ).
  • varia de até .
Então, a integral fica:
2. Ordem :
Aqui, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
  • Para um valor fixo de , varia de até .
  • varia de até .
Assim, a integral fica:

Resposta

Portanto, as integrais duplas sobre a região integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^pi integral0^y x cos y , dx , dy na ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^pi integralx^pi x cos y , dy , dx e são:
e

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