cada caso, escreva a
has duas ordeus:
;
é a reqião delinuitada pos:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função
sobre a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Além disso, precisamos expressar essa integral em duas ordens diferentes: primeiro integrando em relação a
e depois a
, e depois o contrário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
onde vamos integrar. As curvas que delimitam
são:
-
: que é o eixo ; -
: uma linha horizontal no nível ; -
: uma linha que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
Vamos desenhar um esboço para visualizar melhor:
- O eixo
( ) vai de até . - A linha
vai de até .
Portanto, a região
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar as integrais duplas em ambas as ordens.
1. Ordem
:
Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
- Para um valor fixo de
, varia de até (porque dá ). -
varia de até .
Então, a integral fica:
2. Ordem
:
Aqui, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
- Para um valor fixo de
, varia de até . -
varia de até .
Assim, a integral fica:
Resposta
Portanto, as integrais duplas sobre a região
na ordem
e
são:
e
Exercícios relacionados
&
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
Calcule
, onde
é o quadrado
;