Em coda caso, a integral dupla iterada dada, uā pode ses calculada na ardeur de integroção apresentada. Use o Tearema de Fubimi (1879-1943), inverta corretaurente a osdeur de integra- ção, e calcule-a:
integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 sec ^2(cos x) d x d y ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla iterada:
integral0^1 integralarcsin y^pi / 2 sec^2(cos x) , dx , dy
Esse exercício está relacionado ao Teorema de Fubini, que nos permite trocar a ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, precisamos entender a região de integração e como aplicar esse teorema para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos integral0^pi2 integral0^sin x sec^2(cos x) , dy , dx variando de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até .
Para trocar a ordem de integração, queremos expressar primeiro e depois . Vamos determinar os novos limites:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a (já que é a função inversa de ).
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^sin x sec^2(cos x) , dy = sec^2(cos x) cdot sin x . Observe que a função integral0^pi2 sin x cdot sec^2(cos x) , dx não depende de , então a integral em é simples:
Assim, nossa integral dupla se simplifica para uma integral única em relação a :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão sin x cdot sec^2(cos x) = sin xcos^2(cos x) . Lembrando que du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx , temos:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral0^pi2 sin x cdot sec^2(cos x) , dx = -integralu=cos 0^u=cos pi2 sec^2 u , du
Calculando os novos limites de integração:
  • Quando -integral1^0 sec^2 u , du = integral0^1 sec^2 u , du , .
  • Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de integral sec^2 u , du = tan u + C é uma função que conhecemos bem:
integral0^1 sec^2 u , du = tan(1) - tan(0) = tan(1) - 0 = tan(1)
Aplicando os limites de integração:

Resposta

tan(1)

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