Em coda caso, a integral dupla iterada dada, uā pode ses calculada na ardeur de integroção apresentada. Use o Tearema de Fubimi (1879-1943), inverta corretaurente a osdeur de integra- ção, e calcule-a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla iterada:
Esse exercício está relacionado ao Teorema de Fubini, que nos permite trocar a ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, precisamos entender a região de integração e como aplicar esse teorema para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Para trocar a ordem de integração, queremos expressar
primeiro e depois
. Vamos determinar os novos limites:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a (já que é a função inversa de ).
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Observe que a função
não depende de
, então a integral em
é simples:
Assim, nossa integral dupla se simplifica para uma integral única em relação a
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Lembrando que
, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Calculando os novos limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral de
é uma função que conhecemos bem:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
Exercícios relacionados
Im cada caso, idenfique a regiấ
do plano-
que:
maximize a
maximize a
Calcule
, onde
é o quadrado
;
Calcule
.
Calcule
.