Calcule integral duplaS(z-x^2+x y^2-1) d S onde S é a superfície de z=x^2+1 no intervalo 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a superfície dada por no intervalo e . O conteúdo aqui envolve integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da integral. Substituímos z - x^2 + x y^2 - 1 = (x^2 + 1) - x^2 + x y^2 - 1 = x y^2 na expressão integral duplaS x y^2 , dS pela equação da superfície :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 + 1 , dx , dy para a superfície partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 0 . A fórmula para dS = raiz(2x)^2 + 0^2 + 1 , dx , dy = raiz4x^2 + 1 , dx , dy quando temos é:
Aqui, , então:
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla com os limites fornecidos:
integral duplaS x y^2 , dS = integral0^2 integral0^5 x y^2 raiz4x^2 + 1 , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^5 y^2 , dy = [ y^33 ]0^5 = 5^33 - 0 = 1253 primeiro:
integral0^2 x raiz4x^2 + 1 cdot 1253 , dx = 1253 integral0^2 x raiz4x^2 + 1 , dx
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Para resolver essa última integral, vamos usar a substituição dudx = 8x Rightarrow x , dx = du8 . Então:
1253 cdot 18 integral1^17 raizu , du = 12524 integral1^17 u^1/2 , du
Mudando os limites de integração:
  • Quando integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 , 12524 cdot 23 [ u^3/2 ]1^17 = 12536 (17^3/2 - 1)
  • Quando ,
A integral fica:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:

Resposta

A integral dupla 12536 (17^3/2 - 1) é igual a:
Isso pode ser deixado dessa forma ou calculado numericamente para obter um valor aproximado.

Exercícios relacionados