Calcule onde é a superfície de no intervalo e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a superfície dada por no intervalo e . O conteúdo aqui envolve integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da integral. Substituímos na expressão pela equação da superfície :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora precisamos encontrar o elemento de área para a superfície . A fórmula para quando temos é:
Aqui, , então:
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla com os limites fornecidos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Para resolver essa última integral, vamos usar a substituição . Então:
Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:

Resposta

A integral dupla é igual a:
Isso pode ser deixado dessa forma ou calculado numericamente para obter um valor aproximado.

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