Calcule
onde
é a superfície de
no intervalo
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a superfície dada por
no intervalo
e
. O conteúdo aqui envolve integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral de superfície em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da integral. Substituímos
na expressão
pela equação da superfície
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora precisamos encontrar o elemento de área
para a superfície
. A fórmula para
quando temos
é:
Aqui,
, então:
Substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla com os limites fornecidos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para resolver essa última integral, vamos usar a substituição
. Então:
Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Resposta
A integral dupla
é igual a:
Isso pode ser deixado dessa forma ou calculado numericamente para obter um valor aproximado.
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