In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
34.
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
34.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício número 34! A gente precisa desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais para a equação diferencial
. Além disso, temos que verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de simetria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um diagrama que mostra as inclinações das soluções das equações diferenciais em cada ponto do plano. Ele nos dá uma ideia visual de como as soluções (curvas integrais) se comportam.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Isso significa que, em cada ponto
, a inclinação da curva integral é dada por essa fração.
Passo 4
Para desenhar o campo de direções, escolhemos vários pontos no plano
, calculamos
para cada ponto e desenhamos uma pequena linha com essa inclinação. Por exemplo:
- Em
: , que é indefinido. Isso sugere que há uma singularidade na origem. - Em
: - Em
:
E assim por diante para vários pontos. Isso nos dá uma ideia de como as curvas integrais se comportam em diferentes regiões do plano.
Passo 5
Agora, para desenhar algumas curvas integrais, resolvemos a equação diferencial. Vamos separar as variáveis e integrar:
Vamos reorganizar a equação:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Notamos que essa equação é exata, e podemos integrar diretamente:
Simplificando e reorganizando, obtemos a solução geral das curvas integrais.
Passo 6
Para verificar a simetria em relação à origem, substituímos
por
na equação diferencial e observamos se a equação se mantém inalterada.
A equação permanece a mesma, o que indica que as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Resposta
As curvas integrais da equação
são simétricas em relação à origem.
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In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
Calcule
onde
é a superfície de
no intervalo
e
Calcule
onde
é a superfície do parabolóide