In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
34.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício número 34! A gente precisa desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais para a equação diferencial . Além disso, temos que verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de simetria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um diagrama que mostra as inclinações das soluções das equações diferenciais em cada ponto do plano. Ele nos dá uma ideia visual de como as soluções (curvas integrais) se comportam.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Isso significa que, em cada ponto , a inclinação da curva integral é dada por essa fração.

Passo 4

Para desenhar o campo de direções, escolhemos vários pontos no plano , calculamos para cada ponto e desenhamos uma pequena linha com essa inclinação. Por exemplo:
  • Em : , que é indefinido. Isso sugere que há uma singularidade na origem.
  • Em :
  • Em :
E assim por diante para vários pontos. Isso nos dá uma ideia de como as curvas integrais se comportam em diferentes regiões do plano.

Passo 5

Agora, para desenhar algumas curvas integrais, resolvemos a equação diferencial. Vamos separar as variáveis e integrar:
Vamos reorganizar a equação:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Notamos que essa equação é exata, e podemos integrar diretamente:
Simplificando e reorganizando, obtemos a solução geral das curvas integrais.

Passo 6

Para verificar a simetria em relação à origem, substituímos por na equação diferencial e observamos se a equação se mantém inalterada.
A equação permanece a mesma, o que indica que as curvas integrais são simétricas em relação à origem.

Resposta

As curvas integrais da equação são simétricas em relação à origem.

Exercícios relacionados

In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37.
Mostre que as equações abaixo não são exatas, encontre um fator integrante e resolva o PVI:
Calcule onde é a superfície de no intervalo e
Calcule onde é a superfície do parabolóide