Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo direcional e algumas curvas integrais da equação diferencial . Além disso, precisamos verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais, Campos Direcionais e Análise de Simetria. Vamos precisar entender como construir um campo direcional e traçar algumas curvas integrais para visualizar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo direcional. Ele é um gráfico que mostra, em cada ponto do plano, a inclinação da solução da equação diferencial naquele ponto. Para a nossa equação , isso significa que, para qualquer par , calculamos o valor da derivada e desenhamos uma pequena linha com esse ângulo.
Passo 3
Vamos calcular algumas derivadas para pontos específicos para ter uma ideia de como o campo direcional fica. Por exemplo:
Para , :
Para , :
Para , : não está definida porque o denominador é zero. Isso indica que há uma reta vertical no eixo .
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as curvas integrais. Essas são as soluções que seguem as inclinações dadas pelo campo direcional. Para esquematizar algumas, podemos começar a desenhar a partir de pontos diferentes e seguir as inclinações calculadas. Por exemplo, partindo de com inclinação , a curva desceria para a direita.
Passo 5
Sobre a simetria em relação à origem, queremos ver se, para cada ponto no campo direcional, o ponto tem a mesma inclinação. Vamos verificar usando a equação:
Como vemos, em é igual a em , o que confirma a simetria em relação à origem.
Resposta
O campo direcional e as curvas integrais da equação são simétricos em relação à origem.