In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
37. dy/dx = (x^2 - 3y^2) / (2xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo direcional e algumas curvas integrais da equação diferencial . Além disso, precisamos verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais, Campos Direcionais e Análise de Simetria. Vamos precisar entender como construir um campo direcional e traçar algumas curvas integrais para visualizar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo direcional. Ele é um gráfico que mostra, em cada ponto do plano, a inclinação da solução da equação diferencial naquele ponto. Para a nossa equação , isso significa que, para qualquer par , calculamos o valor da derivada e desenhamos uma pequena linha com esse ângulo.

Passo 3

Vamos calcular algumas derivadas para pontos específicos para ter uma ideia de como o campo direcional fica. Por exemplo:
  • Para , :
  • Para , :
  • Para , :
    não está definida porque o denominador é zero. Isso indica que há uma reta vertical no eixo .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre as curvas integrais. Essas são as soluções que seguem as inclinações dadas pelo campo direcional. Para esquematizar algumas, podemos começar a desenhar a partir de pontos diferentes e seguir as inclinações calculadas. Por exemplo, partindo de com inclinação , a curva desceria para a direita.

Passo 5

Sobre a simetria em relação à origem, queremos ver se, para cada ponto no campo direcional, o ponto tem a mesma inclinação. Vamos verificar usando a equação:
Como vemos, em é igual a em , o que confirma a simetria em relação à origem.

Resposta

O campo direcional e as curvas integrais da equação são simétricos em relação à origem.

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