Calcule integral duplaS(3 x, 3 y,-3 z) cdot n d S onde S é a superfície do parabolóide z=x^2+ y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS(3x, 3y, -3z) cdot n , dS, onde S é a superfície do parabolóide dado por z = x^2 + y^2. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando integração de superfície. Para resolver, vamos precisar conhecer como parametrizar a superfície e calcular o vetor normal n.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície do parabolóide. Podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Assim, definimos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2
onde r >= 0 e 0 <= theta < 2pi.

Passo 3

Com a parametrização, podemos calcular os vetores tangentes à superfície. Calculamos as derivadas parciais em relação a r e theta:
partial rpartial r = (cos theta, sin theta, 2r)
partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0)

Passo 4

O próximo passo é calcular o vetor normal n usando o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r - r sin theta & r cos theta & 0
Calculando o determinante, obtemos:
n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r)

Passo 5

Agora, substituímos os valores de x, y e z na expressão do campo vetorial (3x, 3y, -3z):
(3x, 3y, -3z) = (3r cos theta, 3r sin theta, -3r^2)

Passo 6

Calculamos o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal:
(3r cos theta, 3r sin theta, -3r^2) cdot (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r) = -6r^3 cos^2 theta -6r^3 sin^2 theta -3r^3
Simplificando:
-6r^3 (cos^2 theta + sin^2 theta) -3r^3 = -6r^3(1) -3r^3 = -9r^3

Passo 7

A integral de superfície se torna:
integral duplaS (3x, 3y, -3z) cdot n , dS = integral0^2pi integral0^R -9r^3 , dr , dtheta
Aqui, R representa o limite superior para r. Como o enunciado não especifica um limite, assumimos que o parabolóide é limitado até r = R.

Passo 8

Calculamos a integral interna em relação a r:
integral0^R -9r^3 , dr = -9 [ r^44 ]0^R = -94 R^4

Passo 9

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi -94 R^4 , dtheta = -94 R^4 cdot 2pi = -92 pi R^4

Resposta

A integral de superfície é -dfrac92 pi R^4.

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