Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde é a superfície do parabolóide dado por . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando integração de superfície. Para resolver, vamos precisar conhecer como parametrizar a superfície e calcular o vetor normal .
Passo 2
Vamos começar parametrizando a superfície do parabolóide. Podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Assim, definimos:
onde e .
Passo 3
Com a parametrização, podemos calcular os vetores tangentes à superfície. Calculamos as derivadas parciais em relação a e :
Passo 4
O próximo passo é calcular o vetor normal usando o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o determinante, obtemos:
n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r)
Passo 5
Agora, substituímos os valores de x, y e z na expressão do campo vetorial (3x, 3y, -3z):
(3x, 3y, -3z) = (3r cos theta, 3r sin theta, -3r^2)
Passo 6
Calculamos o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal:
(3r cos theta, 3r sin theta, -3r^2) cdot (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r) = -6r^3 cos^2 theta -6r^3 sin^2 theta -3r^3