Calcule onde é a superfície do parabolóide

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde é a superfície do parabolóide dado por . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando integração de superfície. Para resolver, vamos precisar conhecer como parametrizar a superfície e calcular o vetor normal .

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície do parabolóide. Podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Assim, definimos:
onde e .

Passo 3

Com a parametrização, podemos calcular os vetores tangentes à superfície. Calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 4

O próximo passo é calcular o vetor normal usando o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o determinante, obtemos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores de , e na expressão do campo vetorial :

Passo 6

Calculamos o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal:
Simplificando:

Passo 7

A integral de superfície se torna:
Aqui, representa o limite superior para . Como o enunciado não especifica um limite, assumimos que o parabolóide é limitado até .

Passo 8

Calculamos a integral interna em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule onde é a superfície de no intervalo e
In each of Problems 31 through 38:
© Draw a direction field and some integral curves. Are they symmetric with respect to the origin?
34.
Resolva as EDO
Resolva as EDO