Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(a) Encontre uma parametrização para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tá lidando com um cilindro definido pela equação , e a parte que a gente quer considerar está limitada pelos planos e . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa parte do cilindro. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre como parametrizar superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Esse é um cilindro circular reto cujo eixo é o eixo , porque a equação não envolve . O raio do cilindro é , já que é ao quadrado.

Passo 3

Para parametrizar o cilindro, uma boa estratégia é usar coordenadas circulares no plano . Vamos definir um parâmetro angular, digamos , que varia de a . Assim, podemos expressar e em termos de :

Passo 4

Agora, precisamos considerar o valor de . Olhando para os limites dados pelos planos e , vamos expressar em termos de . Já temos em função de , então substituindo:
No entanto, isso nos dá a expressão para o limite superior de . Já o limite inferior é . Então, varia de a .

Passo 5

Para parametrizar completamente a superfície , precisamos de dois parâmetros. Já usamos para definir a posição ao redor do cilindro. Vamos introduzir outro parâmetro, digamos , que varia entre e para representar a variação de dentro dos limites estabelecidos. Então, podemos definir como:
Onde .

Resposta

A parametrização para a superfície é dada por:
Onde e .

Exercícios relacionados

Seja a parte do cilindro compreendida entre os planos e , com normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para e utilize-a para calcular a integral em que .
Resp.: .
Calcule em que é a parte do plano interior ao paraboloide .
Resp.: .
Calcule , em que
e é a superfície , com , orientada com normal apontando para cima. Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .