Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(a) Encontre uma parametrização para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tá lidando com um cilindro definido pela equação , e a parte que a gente quer considerar está limitada pelos planos e . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa parte do cilindro. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre como parametrizar superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro . Esse é um cilindro circular reto cujo eixo é o eixo , porque a equação não envolve . O raio do cilindro é , já que é ao quadrado.
Passo 3
Para parametrizar o cilindro, uma boa estratégia é usar coordenadas circulares no plano . Vamos definir um parâmetro angular, digamos , que varia de a . Assim, podemos expressar e em termos de :
Passo 4
Agora, precisamos considerar o valor de . Olhando para os limites dados pelos planos e , vamos expressar em termos de . Já temos em função de , então substituindo:
No entanto, isso nos dá a expressão para o limite superior de . Já o limite inferior é . Então, varia de a .
Passo 5
Para parametrizar completamente a superfície , precisamos de dois parâmetros. Já usamos para definir a posição ao redor do cilindro. Vamos introduzir outro parâmetro, digamos , que varia entre e para representar a variação de dentro dos limites estabelecidos. Então, podemos definir como: