Seja S a parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 limitada pelos planos z = 0 e z = y + 2.
(a) Encontre uma parametrização para S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tá lidando com um cilindro definido pela equação , e a parte que a gente quer considerar está limitada pelos planos e . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa parte do cilindro. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre como parametrizar superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Esse é um cilindro circular reto cujo eixo é o eixo z, porque a equação não envolve z. O raio do cilindro é , já que é ao quadrado.

Passo 3

Para parametrizar o cilindro, uma boa estratégia é usar coordenadas circulares no plano xy. Vamos definir um parâmetro angular, digamos theta, que varia de 0 a . Assim, podemos expressar x e y em termos de theta:

Passo 4

Agora, precisamos considerar o valor de z. Olhando para os limites dados pelos planos e , vamos expressar z em termos de y. Já temos y em função de theta, então substituindo:
No entanto, isso nos dá a expressão para o limite superior de z. Já o limite inferior é . Então, z varia de 0 a .

Passo 5

Para parametrizar completamente a superfície S, precisamos de dois parâmetros. Já usamos theta para definir a posição ao redor do cilindro. Vamos introduzir outro parâmetro, digamos v, que varia entre 0 e 1 para representar a variação de z dentro dos limites estabelecidos. Então, podemos definir z como:
Onde .

Resposta

A parametrização para a superfície S é dada por:
Onde e .

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