Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
e) integralraiz22^0 xraiz1-x^4 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Precisamos calcular a integral definida:
integralraiz22^0 xraiz1-x^4 , dx
Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de substituição, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u = x^2 de forma que a expressão fique mais fácil de integrar.
Escolhemos:

Passo 3

Agora, derivamos du = 2x , dx em relação a x , dx = du2:
Isolando :

Passo 4

Substituindo integral xraiz1 - x^4 , dx = integral du2raiz1 - u^2 e 12 integral duraiz1 - u^2 na integral original, temos:
Simplificando:

Passo 5

A integral resultante é uma forma conhecida:
integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C
Portanto:
12 arcsin(u) + C

Passo 6

Voltando à variável original 12 arcsin(x^2) + C:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 12 arcsin(x^2) ]raiz22^0 = 12 arcsin(0) - 12 arcsin((raiz22)^2) a 12 cdot 0 - 12 cdot arcsin(12):
arcsin(12) = pi6
Simplificando:
-12 cdot pi6 = -pi12
Sabemos que:
Então:

Resposta

O valor da integral definida é -dfracpi12.

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