Calcule
onde
é a esfera unitária
, utilizando coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde
é a esfera unitária definida por
. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Então, precisamos entender como transformar a integral para essas coordenadas e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano a partir do eixo , -
é o ângulo a partir do eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Isso significa que quando mudamos para coordenadas esféricas, precisamos multiplicar a função integranda por
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando
em termos de
:
Então, a função simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
se
é a superficie do parabolóide
acima do plano
.
Considere o campo vetorial
Calcule
se
é a circunferência
.
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
e)
e)
Dadas as matrizes:
e
, obtenha o elemento
da matriz
: