Calcule
integral triplaB x^2+y^2+z^2 d V
onde B é a esfera unitária x^2+y^2+z^2 <= 1, utilizando coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde é a esfera unitária definida por . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Então, precisamos entender como transformar a integral para essas coordenadas e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • é o ângulo a partir do eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:

Passo 3

Além disso, o elemento de volume dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:
Isso significa que quando mudamos para coordenadas esféricas, precisamos multiplicar a função integranda por .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (sin^2phi cos^2theta + sin^2phi sin^2theta + cos^2phi) = r^2 (sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + cos^2phi) = r^2 (sin^2phi + cos^2phi) = r^2 em termos de :
Então, a função simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
integral triplaB (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2 :

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
15 times 2 times 2pi = 4pi5
Então, o valor da integral é .

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