Calcule
onde é a esfera unitária , utilizando coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde é a esfera unitária definida por . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Então, precisamos entender como transformar a integral para essas coordenadas e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • é o ângulo a partir do eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:

Passo 3

Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Isso significa que quando mudamos para coordenadas esféricas, precisamos multiplicar a função integranda por .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em termos de :
Então, a função simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Por último, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é .

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Calcule
se é a superficie do parabolóide
acima do plano .
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Calcule
se é a circunferência .
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
e)
Dadas as matrizes: e , obtenha o elemento da matriz :