Calcule as seguintes integrais de linha: ointC L(x) d x+M(y) d y, C é um círculo de raio r e L(x) e M(y) são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular uma integral de linha da forma ointC L(x) dx + M(y) dy, onde C é um círculo de raio r. As funções L(x) e M(y) têm derivadas parciais contínuas na região dentro desse círculo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta muito útil em cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula geral é:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P e Q são funções que têm derivadas parciais contínuas na região D.

Passo 3

No nosso caso, temos P = L(x) e Q = M(y). Vamos aplicar o Teorema de Green substituindo esses valores na fórmula:
ointC L(x) dx + M(y) dy = integral duplaD ( partial M(y)partial x - partial L(x)partial y ) dA

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial M(y)partial x e partial L(x)partial y. Observando as funções:
  • M(y) depende somente de y, então sua derivada em relação a x é zero: partial M(y)partial x = 0.
  • L(x) depende somente de x, então sua derivada em relação a y também é zero: partial L(x)partial y = 0.

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão da integral dupla, temos:
integral duplaD ( 0 - 0 ) dA = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha é igual a zero:
ointC L(x) dx + M(y) dy = 0

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