Calcule as seguintes integrais de linha:
,
é um círculo de raio
e
e
são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular uma integral de linha da forma
, onde
é um círculo de raio
. As funções
e
têm derivadas parciais contínuas na região dentro desse círculo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta muito útil em cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula geral é:
Aqui,
e
são funções que têm derivadas parciais contínuas na região
.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. Vamos aplicar o Teorema de Green substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
. Observando as funções:
-
depende somente de , então sua derivada em relação a é zero: . -
depende somente de , então sua derivada em relação a também é zero: .
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão da integral dupla, temos:
Resposta
Portanto, a integral de linha é igual a zero: