Calcule a integral
nos seguintes casos:
é a região delimitada pelo hipocicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve o campo vetorial
e uma região
delimitada por uma hipocicloide dada por
. Nosso objetivo é calcular:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona integrais de fluxo sobre uma superfície fechada com integrais de divergência sobre a região delimitada por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Gauss, que nos diz que:
No nosso caso, a superfície
é bidimensional e está delimitada pela hipocicloide, então podemos simplificar para uma integral dupla usando a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Então, para
:
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de fluxo sobre a superfície
será:
Resposta
A integral
vale 0.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.795ex” height=“2.351ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 6981.2 1038.9”><title>f: D ⊆ R² → R</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.873ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 828 683”><title>D</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D437” d=“M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Mostre que se <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: <span class="math-inline ">
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