Calcule a integral
nos seguintes casos:
é a região delimitada pelo hipocicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve o campo vetorial
e uma região
delimitada por uma hipocicloide dada por
. Nosso objetivo é calcular:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona integrais de fluxo sobre uma superfície fechada com integrais de divergência sobre a região delimitada por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Gauss, que nos diz que:
No nosso caso, a superfície
é bidimensional e está delimitada pela hipocicloide, então podemos simplificar para uma integral dupla usando a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Então, para
:
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de fluxo sobre a superfície
será:
Resposta
A integral
vale 0.