Calcule a integral
integral duplaS(F bul<=t n) d S
nos seguintes casos: F=3 y i-2 x j, S é a região delimitada pelo hipocicloide x^23+y^23=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve o campo vetorial F = 3y,i - 2x,j e uma região S delimitada por uma hipocicloide dada por x^23 + y^23 = 1. Nosso objetivo é calcular:
integral duplaS (F cdot n) , dS
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona integrais de fluxo sobre uma superfície fechada com integrais de divergência sobre a região delimitada por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Gauss, que nos diz que:
integral duplaS (F cdot n) , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
No nosso caso, a superfície S é bidimensional e está delimitada pela hipocicloide, então podemos simplificar para uma integral dupla usando a divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P,i + Q,j é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y
Então, para F = 3y,i - 2x,j:
nabla cdot F = partialpartial x(3y) + partialpartial y(-2x) = 0 + (-0) = 0

Passo 4

Com a divergência sendo zero, a integral de fluxo sobre a superfície S será:
integral duplaS (F cdot n) , dS = integral duplaS 0 , dS = 0

Resposta

A integral integral duplaS (F cdot n) , dS vale 0.

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