Seja
uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. Mostre que se
em
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. A gente precisa mostrar que, se o Laplaciano de
(
) é zero em
, então a integral de
ao longo da fronteira de
também é zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano (
). Em duas dimensões, ele é dado por:
O enunciado nos diz que
em
, o que significa que
é uma função harmônica nessa região.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral que precisamos avaliar:
Essa forma se assemelha a uma integral de linha de um campo vetorial. Vamos identificar o campo vetorial correspondente. Se considerarmos:
Então, nossa integral pode ser escrita como:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, sabemos que:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular:
Portanto,
Passo 5
Como
em
, temos:
Isso significa que a integral dupla sobre
será zero:
Passo 6
Voltando ao Teorema de Green, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que se
em
, então:
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<html><head></head><body><div>Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.025ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 5757 895”><title>r = 2u i + 3v j</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1807.6,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(2307.6,0)”><path data-c=“1D462” d=“M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2879.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3420.8,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(4421,0)”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(4921,0)”><path data-c=“1D463” d=“M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(5406,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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</body></html>
Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a parte do paraboloide
no interior ao cilindro
.
<html><head></head><body><div>Calcule a integral</div>
<div><span class="math-block ">
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<div>nos seguintes casos: <span class="math-inline ">
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