Seja
uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. Mostre que se
em
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. A gente precisa mostrar que, se o Laplaciano de
(
) é zero em
, então a integral de
ao longo da fronteira de
também é zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano (
). Em duas dimensões, ele é dado por:
O enunciado nos diz que
em
, o que significa que
é uma função harmônica nessa região.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral que precisamos avaliar:
Essa forma se assemelha a uma integral de linha de um campo vetorial. Vamos identificar o campo vetorial correspondente. Se considerarmos:
Então, nossa integral pode ser escrita como:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, sabemos que:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular:
Portanto,
Passo 5
Como
em
, temos:
Isso significa que a integral dupla sobre
será zero:
Passo 6
Voltando ao Teorema de Green, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que se
em
, então: