Seja f: D subseteq R^2 R uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em D. Mostre que se De em D, então
integralpartial D fy d x-fx d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é contínua e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em . A gente precisa mostrar que, se o Laplaciano de ( ) é zero em , então a integral de ao longo da fronteira de também é zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma região com integrais duplas sobre a própria região.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano ( De). Em duas dimensões, ele é dado por:
O enunciado nos diz que em , o que significa que é uma função harmônica nessa região.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral que precisamos avaliar:
integralpartial D fy dx - fx dy
Essa forma se assemelha a uma integral de linha de um campo vetorial. Vamos identificar o campo vetorial correspondente. Se considerarmos:
F = (fy, -fx)
Então, nossa integral pode ser escrita como:
integralpartial D F cdot dr

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, sabemos que:
integralpartial D P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, partial Qpartial x = partial (-fx)partial x = -fxx e partial Ppartial y = partial fypartial y = fyy . Vamos calcular:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -fxx - fyy = -De
Portanto,

Passo 5

Como partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 em integral duplaD 0 , dA = 0 , temos:
Isso significa que a integral dupla sobre será zero:

Passo 6

Voltando ao Teorema de Green, concluímos que:
integralpartial D fy dx - fx dy = 0

Resposta

Portanto, mostramos que se integralpartial D fy dx - fx dy = 0 em , então:

Exercícios relacionados