Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-32(x, y, z) e S é a esfera x^2+y^2+z^2=a^2, a>0, com n exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma esfera S. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície, o que representa o vetor normal n e como calcular o fluxo usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial dado:
F(x, y, z) = (x^2+y^2+z^2)^-32 (x, y, z)
Esse campo pode ser reescrito em forma vetorial como:
F = r|r|^3
onde r = (x, y, z) é o vetor posição. Isso nos mostra que F aponta na direção radial e sua magnitude depende da distância ao quadrado.

Passo 3

A esfera S é definida por:
x^2+y^2+z^2 = a^2, a > 0
O vetor normal exterior à esfera, n, para qualquer ponto na superfície, é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio, ou seja:
n = ra

Passo 4

Agora, queremos calcular a integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS
Substituindo F e n na expressão, temos:
F cdot n = (r|r|^3) cdot (ra) = r cdot ra |r|^3
Como |r| = a na esfera, isso simplifica para:
F cdot n = a^2a cdot a^3 = 1a^2

Passo 5

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS 1a^2 , dS = 1a^2 integral duplaS dS
A integral integral duplaS dS representa a área da superfície da esfera, que é conhecida e igual a 4pi a^2.

Passo 6

Substituindo a área da esfera na expressão:
1a^2 cdot 4pi a^2 = 4pi

Resposta

O valor da integral é 4pi.

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