Calcule
, onde
e
é a esfera
, com
exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma esfera
. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície, o que representa o vetor normal
e como calcular o fluxo usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial dado:
Esse campo pode ser reescrito em forma vetorial como:
onde
é o vetor posição. Isso nos mostra que
aponta na direção radial e sua magnitude depende da distância ao quadrado.
Passo 3
A esfera
é definida por:
O vetor normal exterior à esfera,
, para qualquer ponto na superfície, é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio, ou seja:
Passo 4
Agora, queremos calcular a integral de superfície:
Substituindo
e
na expressão, temos:
Como
na esfera, isso simplifica para:
Passo 5
Agora, a integral de superfície fica:
A integral
representa a área da superfície da esfera, que é conhecida e igual a
.
Passo 6
Substituindo a área da esfera na expressão:
Resposta
O valor da integral é
.