Calcule , onde
e é a esfera , com exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma esfera . O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície, o que representa o vetor normal e como calcular o fluxo usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial dado:
Esse campo pode ser reescrito em forma vetorial como:
onde é o vetor posição. Isso nos mostra que aponta na direção radial e sua magnitude depende da distância ao quadrado.

Passo 3

A esfera é definida por:
O vetor normal exterior à esfera, , para qualquer ponto na superfície, é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio, ou seja:

Passo 4

Agora, queremos calcular a integral de superfície:
Substituindo e na expressão, temos:
Como na esfera, isso simplifica para:

Passo 5

Agora, a integral de superfície fica:
A integral representa a área da superfície da esfera, que é conhecida e igual a .

Passo 6

Substituindo a área da esfera na expressão:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule , onde
e é a superfície do sólido limitado por e o plano , com exterior.
Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio . Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , em torno do eixo .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre e .