Calcule , onde
e é a superfície do sólido limitado por e o plano , com exterior.

Passo 1

Vamos resolver o cálculo do fluxo da função vetorial através da superfície . Essa superfície é o limite de um sólido definido por , , e o plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de integrais de superfície usando o fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo através de uma superfície e como aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície . Ela é limitada pelas superfícies (uma parábola no eixo z), pelos planos e , e pelo plano (onde ). A normal é exterior, ou seja, aponta para fora do sólido.

Passo 3

Para calcular o fluxo , podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície do fluxo de através de com a integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por :

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:

Passo 5

Agora, a integral tripla fica:
Então, precisamos calcular o volume do sólido .

Passo 6

O sólido está limitado por , , e . Para calcular o volume, vamos integrar na ordem :
A razão para ir de a é porque apenas para .

Passo 7

Integrando em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 8

Integrando em relação a :
Então:

Passo 9

Finalmente, o fluxo é:

Resposta

O fluxo é igual a .

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Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio . Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.
Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e o plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Calcule , onde
e é a esfera , com exterior.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , em torno do eixo .