Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado por
e o plano
, com
exterior.
Passo 1
Vamos resolver o cálculo do fluxo da função vetorial
através da superfície
. Essa superfície é o limite de um sólido definido por
,
,
e o plano
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de integrais de superfície usando o fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo através de uma superfície e como aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
. Ela é limitada pelas superfícies
(uma parábola no eixo z), pelos planos
e
, e pelo plano
(onde
). A normal
é exterior, ou seja, aponta para fora do sólido.
Passo 3
Para calcular o fluxo
, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície do fluxo de
através de
com a integral tripla da divergência de
sobre o volume delimitado por
:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Passo 5
Agora, a integral tripla fica:
Então, precisamos calcular o volume do sólido
.
Passo 6
O sólido
está limitado por
,
,
e
. Para calcular o volume, vamos integrar na ordem
:
A razão para
ir de
a
é porque
apenas para
.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Então:
Passo 9
Finalmente, o fluxo é:
Resposta
O fluxo
é igual a
.