Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(z+3 x) i+(z+3) k e S é a superfície do sólido limitado por z=1-y^2, x=0, x=2 e o plano x y, com n exterior.

Passo 1

Vamos resolver o cálculo do fluxo da função vetorial F(x, y, z)=(z+3x) i + (z+3) k através da superfície S. Essa superfície é o limite de um sólido definido por z=1-y^2, x=0, x=2 e o plano xy. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de integrais de superfície usando o fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo através de uma superfície e como aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície S. Ela é limitada pelas superfícies z=1-y^2 (uma parábola no eixo z), pelos planos x=0 e x=2, e pelo plano xy (onde z=0). A normal n é exterior, ou seja, aponta para fora do sólido.

Passo 3

Para calcular o fluxo integral duplaS F cdot n dS, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície do fluxo de F através de S com a integral tripla da divergência de F sobre o volume delimitado por S:
integral duplaS F cdot n dS = integral triplaV nabla cdot F , dV

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, F = (z+3x)i + 0j + (z+3)k, então:
P = z+3x, Q = 0, R = z+3
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 3, partial Qpartial y = 0, partial Rpartial z = 1
Portanto:
nabla cdot F = 3 + 0 + 1 = 4

Passo 5

Agora, a integral tripla fica:
integral triplaV 4 , dV = 4 integral triplaV dV = 4 cdot Volume(V)
Então, precisamos calcular o volume do sólido V.

Passo 6

O sólido V está limitado por z=1 - y^2, x=0, x=2 e z=0. Para calcular o volume, vamos integrar na ordem dz,dy,dx:
Volume(V) = integralx=0^2 integraly=-1^1 integralz=0^1 - y^2 dz,dy,dx
A razão para y ir de -1 a 1 é porque 1 - y^2 >= 0 apenas para |y| <= 1.

Passo 7

Integrando em relação a z:
integral0^1 - y^2 dz = (1 - y^2) - 0 = 1 - y^2
Então, a integral se torna:
Volume(V) = integral0^2 integral-1^1 (1 - y^2) dy,dx

Passo 8

Integrando em relação a y:
integral-1^1 (1 - y^2) dy = [ y - y^33 ]-1^1 = (1 - 13) - (-1 + (-1)^33) = (23) - (-23) = 43
Então:
Volume(V) = integral0^2 43 dx = 43 cdot 2 = 83

Passo 9

Finalmente, o fluxo é:
integral duplaS F cdot n dS = 4 cdot 83 = 323

Resposta

O fluxo integral duplaS F cdot n dS é igual a dfrac323.

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