Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio
. Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto
da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina em forma de hemisfério com raio
. O objetivo é calcular o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo (o ponto mais alto do hemisfério) e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Além disso, a densidade em qualquer ponto
dessa lâmina é proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e momentos de inércia em geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a distribuição da massa em relação a um eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia
em relação a um eixo é:
Onde
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, precisamos definir a densidade
da lâmina. A densidade é proporcional à distância
do ponto
ao plano que delimita o hemisfério. Então podemos escrever:
Onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Vamos escolher um sistema de coordenadas com o eixo
perpendicular ao plano da base do hemisfério e passando pelo polo. Nesse sistema, a distância
de um ponto na lâmina ao plano é simplesmente a coordenada
desse ponto.
Passo 5
Para parametrizar a lâmina, usamos coordenadas esféricas. Sabendo que a lâmina é um hemisfério, podemos descrever um ponto
na lâmina usando o ângulo polar
(variando de 0 a
) e o ângulo azimutal
(variando de 0 a
).
As coordenadas cartesianas são:
Passo 6
A densidade
em termos de
fica:
Agora, precisamos expressar um elemento de área
na superfície do hemisfério. Em coordenadas esféricas, temos:
Passo 7
O elemento de massa
é a densidade vezes a área:
Passo 8
A distância
de cada ponto ao eixo de rotação é a distância perpendicular ao eixo, que neste caso é a coordenada
. Assim:
Portanto,
Passo 9
Agora, substituímos tudo na fórmula do momento de inércia:
Passo 10
Vamos separar as integrais:
Primeiro, a integral sobre
:
Agora, a integral sobre
:
Vamos fazer uma substituição:
, então
.
Isso se transforma em:
Passo 11
Substituindo os resultados das integrais na expressão do momento de inércia:
Passo 12
Agora, precisamos determinar a constante de proporcionalidade
. Para isso, podemos considerar a massa total
da lâmina. A massa é a integral do elemento de massa sobre toda a superfície:
Isso nos dá:
Passo 13
Substituindo
na expressão do momento de inércia:
Resposta
O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo especificado é:
Exercícios relacionados
Seja
a porção do cilindro
, com
, limitada pelo plano
e o plano
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
Calcule
, onde
e
é a porção da esfera
, limitada pelos planos
e
.
Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado por
e o plano
, com
exterior.
Calcule
, onde
e
é a esfera
, com
exterior.