Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio . Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina em forma de hemisfério com raio . O objetivo é calcular o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo (o ponto mais alto do hemisfério) e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Além disso, a densidade em qualquer ponto dessa lâmina é proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e momentos de inércia em geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a distribuição da massa em relação a um eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia em relação a um eixo é:
Onde é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, precisamos definir a densidade da lâmina. A densidade é proporcional à distância do ponto ao plano que delimita o hemisfério. Então podemos escrever:
Onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 4

Vamos escolher um sistema de coordenadas com o eixo perpendicular ao plano da base do hemisfério e passando pelo polo. Nesse sistema, a distância de um ponto na lâmina ao plano é simplesmente a coordenada desse ponto.

Passo 5

Para parametrizar a lâmina, usamos coordenadas esféricas. Sabendo que a lâmina é um hemisfério, podemos descrever um ponto na lâmina usando o ângulo polar (variando de 0 a ) e o ângulo azimutal (variando de 0 a ).
As coordenadas cartesianas são:

Passo 6

A densidade em termos de fica:
Agora, precisamos expressar um elemento de área na superfície do hemisfério. Em coordenadas esféricas, temos:

Passo 7

O elemento de massa é a densidade vezes a área:

Passo 8

A distância de cada ponto ao eixo de rotação é a distância perpendicular ao eixo, que neste caso é a coordenada . Assim:
Portanto,

Passo 9

Agora, substituímos tudo na fórmula do momento de inércia:

Passo 10

Vamos separar as integrais:
Primeiro, a integral sobre :
Agora, a integral sobre :
Vamos fazer uma substituição: , então .
Isso se transforma em:

Passo 11

Substituindo os resultados das integrais na expressão do momento de inércia:

Passo 12

Agora, precisamos determinar a constante de proporcionalidade . Para isso, podemos considerar a massa total da lâmina. A massa é a integral do elemento de massa sobre toda a superfície:
Isso nos dá:

Passo 13

Substituindo na expressão do momento de inércia:

Resposta

O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo especificado é:

Exercícios relacionados

Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e o plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Calcule , onde
e é a porção da esfera , limitada pelos planos e .
Calcule , onde
e é a superfície do sólido limitado por e o plano , com exterior.
Calcule , onde
e é a esfera , com exterior.