Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(x,-3 y,-2 z) e S é a união dos planos y+z=0, com 0 <= x <= 1,-1 <= y <= 0 e z=0, com 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, indicando a orientação escolhida para S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a união de dois planos: e , cada um com suas próprias restrições de e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é composta por duas partes:
  1. O plano com , .
  2. O plano com , .
Vamos calcular o fluxo através de cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Para calcular o fluxo, usamos a fórmula , onde é o vetor normal à superfície. Precisamos determinar para cada plano.
No plano , podemos reescrever como . Uma normal a esse plano pode ser obtida a partir dos coeficientes de e na equação, que são e , respectivamente. Então, .
No plano , a normal é simplesmente ou dependendo da orientação. Vamos assumir que a orientação escolhida é para cima, então .

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo através de cada plano.
Para o plano F cdot n1 = (x, -3y, -2z) cdot (0, 1, 1) = -3y -2z :
-3y -2(-y) = -3y + 2y = -y
Como integral duplaS1 -y , dS , substituímos:
A integral fica:
Vamos parametrizar com e , já que está relacionado a .

Passo 5

Para o plano F cdot n2 = (x, -3y, -2z) cdot (0, 0, 1) = -2z :
0
Como , isso simplifica para:
Então, o fluxo através de é zero.

Passo 6

Vamos focar no fluxo através de integral duplaS1 -y , dS :
Como , a área diferencial no plano pode ser expressa em termos de multiplicado pelo fator de inclinação do plano. A normal unitária já considera esse fator, então podemos integrar diretamente sobre e .
As restrições são e .

Passo 7

Então, a integral se torna:
integral0^1 integral-1^0 (-y) , dy , dx
Vamos calcular a integral interna em relação a integral-1^0 (-y) , dy = -[ y^22 ]-1^0 = -(0 - 12) = 12 :
integral0^1 12 , dx = 12 times 1 = 12
Agora, integremos em relação a :

Resposta

O fluxo total é .

Exercícios relacionados