Calcule , onde
e é a união dos planos , com e , com , indicando a orientação escolhida para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a união de dois planos: e , cada um com suas próprias restrições de e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é composta por duas partes:
  1. O plano com , .
  2. O plano com , .
Vamos calcular o fluxo através de cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Para calcular o fluxo, usamos a fórmula , onde é o vetor normal à superfície. Precisamos determinar para cada plano.
No plano , podemos reescrever como . Uma normal a esse plano pode ser obtida a partir dos coeficientes de e na equação, que são e , respectivamente. Então, .
No plano , a normal é simplesmente ou dependendo da orientação. Vamos assumir que a orientação escolhida é para cima, então .

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo através de cada plano.
Para o plano :
Como , substituímos:
A integral fica:
Vamos parametrizar com e , já que está relacionado a .

Passo 5

Para o plano :
Como , isso simplifica para:
Então, o fluxo através de é zero.

Passo 6

Vamos focar no fluxo através de :
Como , a área diferencial no plano pode ser expressa em termos de multiplicado pelo fator de inclinação do plano. A normal unitária já considera esse fator, então podemos integrar diretamente sobre e .
As restrições são e .

Passo 7

Então, a integral se torna:
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Agora, integremos em relação a :

Resposta

O fluxo total é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a semiesfera , com exterior.
Determine o momento de inércia em relação ao eixo da superfície , limitada por e , sendo a densidade .
Calcule , onde
e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.
Calcule , onde
e , com exterior.