Calcule
, onde
e
é a união dos planos
, com
e
, com
, indicando a orientação escolhida para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a união de dois planos:
e
, cada um com suas próprias restrições de
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é composta por duas partes:
- O plano
com , . - O plano
com , .
Vamos calcular o fluxo através de cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Para calcular o fluxo, usamos a fórmula
, onde
é o vetor normal à superfície. Precisamos determinar
para cada plano.
No plano
, podemos reescrever como
. Uma normal a esse plano pode ser obtida a partir dos coeficientes de
e
na equação, que são
e
, respectivamente. Então,
.
No plano
, a normal é simplesmente
ou
dependendo da orientação. Vamos assumir que a orientação escolhida é para cima, então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo através de cada plano.
Para o plano
:
Como
, substituímos:
A integral fica:
Vamos parametrizar
com
e
, já que
está relacionado a
.
Passo 5
Para o plano
:
Como
, isso simplifica para:
Então, o fluxo através de
é zero.
Passo 6
Vamos focar no fluxo através de
:
Como
, a área diferencial
no plano pode ser expressa em termos de
multiplicado pelo fator de inclinação do plano. A normal unitária já considera esse fator, então podemos integrar diretamente sobre
e
.
As restrições são
e
.
Passo 7
Então, a integral se torna:
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
O fluxo total é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a semiesfera
, com
exterior.
Determine o momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
, limitada por
e
, sendo a densidade
.
Calcule
, onde
e
é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices
,
e
, com
tendo a componente
não negativa.
Calcule
, onde
e
, com
exterior.