Calcule integral duplaS v cdot d S :
a) v(x, y, z)=x i-(2 x+y) j+z k, onde S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, com n apontando para o exterior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre um hemisfério. Especificamente, queremos encontrar:
integral duplaS v cdot d S
onde o campo vetorial é dado por:
v(x, y, z) = x i - (2x + y) j + z k
e é o hemisfério definido por com , e o vetor normal apontando para fora da esfera. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS v cdot d S = integral triplaV nabla cdot v , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por .
Matematicamente:
Como temos um hemisfério, precisamos fechar a superfície adicionando a base plana (o círculo no plano ) para aplicar o teorema.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z . A divergência é dada por:
vx = x, vy = -(2x + y), vz = z
Para o nosso campo:
partial vxpartial x = 1
Calculando as derivadas parciais:
partial vypartial y = -1
partial vzpartial z = 1
nabla cdot v = 1 - 1 + 1 = 1
Então:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS v cdot d S = integral triplaV 1 , dV = Volume do hemisfério é
Precisamos calcular o volume do hemisfério de raio 1. O volume de uma esfera completa é:
Vesfera = 43 pi r^3
Como estamos lidando com um hemisfério ( Vhemisfério = 12 times 43 pi (1)^3 = 23 pi ):
é

Passo 5

Entretanto, lembre-se que originalmente tínhamos apenas o hemisfério aberto. Ao fechar a superfície com a base, a integral sobre a base deve ser considerada. Portanto:
integral duplaS v cdot d S + integral duplabase v cdot d S = 23 pi
Precisamos calcular a integral sobre a base. Na base ( v = x i - (2x + y) j + 0 k ), o vetor normal aponta para baixo ( d S = -k , dA ), então:
v cdot d S = 0
Portanto, a integral sobre a base é zero.

Passo 6

Assim, a integral original sobre o hemisfério é igual ao volume do hemisfério:
integral duplaS v cdot d S = 23 pi

Resposta

A integral de superfície é .

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