Calcule :
a) , onde é o hemisfério , com apontando para o exterior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre um hemisfério. Especificamente, queremos encontrar:
onde o campo vetorial é dado por:
e é o hemisfério definido por com , e o vetor normal apontando para fora da esfera. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por .
Matematicamente:
Como temos um hemisfério, precisamos fechar a superfície adicionando a base plana (o círculo no plano ) para aplicar o teorema.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Para o nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
é
Precisamos calcular o volume do hemisfério de raio 1. O volume de uma esfera completa é:
Como estamos lidando com um hemisfério ( ):
é

Passo 5

Entretanto, lembre-se que originalmente tínhamos apenas o hemisfério aberto. Ao fechar a superfície com a base, a integral sobre a base deve ser considerada. Portanto:
Precisamos calcular a integral sobre a base. Na base ( ), o vetor normal aponta para baixo ( ), então:
Portanto, a integral sobre a base é zero.

Passo 6

Assim, a integral original sobre o hemisfério é igual ao volume do hemisfério:

Resposta

A integral de superfície é .

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Considere que é o gráfico da função, , ou seja, é dada por . Prove que a área de é dada por .
Seja a transformação , onde e . Desenhe a imagem de .