Calcule
:
a)
, onde
é o hemisfério
, com
apontando para o exterior da esfera.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre um hemisfério. Especificamente, queremos encontrar:
onde o campo vetorial é dado por:
e
é o hemisfério definido por
com
, e o vetor normal
apontando para fora da esfera. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Matematicamente:
Como temos um hemisfério, precisamos fechar a superfície adicionando a base plana (o círculo no plano
) para aplicar o teorema.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Precisamos calcular o volume do hemisfério de raio 1. O volume de uma esfera completa é:
Como estamos lidando com um hemisfério (
):
Passo 5
Entretanto, lembre-se que originalmente tínhamos apenas o hemisfério aberto. Ao fechar a superfície com a base, a integral sobre a base deve ser considerada. Portanto:
Precisamos calcular a integral sobre a base. Na base (
), o vetor normal aponta para baixo (
), então:
Portanto, a integral sobre a base é zero.
Passo 6
Assim, a integral original sobre o hemisfério é igual ao volume do hemisfério:
Resposta
A integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(a) e
é a esfera de contro na origem e raio
.
(a)
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(b) e
é a parte do plano
dentro do cilindro
.
(b)
Considere que
é o gráfico da função,
, ou seja,
é dada por
. Prove que a área de
é dada por
.
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe a imagem de
.