Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação
onde:
O assunto aqui é transformações lineares e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações relacionam as variáveis
e
com as coordenadas
,
e
no espaço tridimensional. Nosso objetivo é desenhar a imagem dessa transformação, ou seja, descobrir como os pontos
são mapeados no espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
e
em termos de
e
respectivamente, já que:
-
⇒ -
⇒
Assim, podemos substituir essas expressões na equação de
:
Então, temos a relação:
Passo 3
Agora, temos as equações:
Isso nos mostra que qualquer ponto
na imagem da transformação satisfaz a equação
. Essa é a equação de um plano no espaço tridimensional.
Passo 4
Para desenhar a imagem de
, que é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
, podemos identificar alguns pontos específicos:
- Se
e , então . Ponto: . - Se
e , então . Ponto: . - Se
e , então . Ponto: . - Se
e , então . Ponto: .
Passo 5
Plotando esses pontos no espaço tridimensional e conectando-os, percebemos que eles formam um plano inclinado. Esse plano representa a imagem da transformação
, onde cada ponto
é mapeado para um ponto no espaço que satisfaz
.
Resposta
A imagem da transformação
é o plano definido pela equação
no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Considere que
é o gráfico da função,
, ou seja,
é dada por
. Prove que a área de
é dada por
.
Calcule
:
a) , onde
é o hemisfério
, com
apontando para o exterior da esfera.
a)
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe o conjunto
onde
.
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.