Seja a transformação , onde e . Desenhe a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação onde:
O assunto aqui é transformações lineares e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações relacionam as variáveis e com as coordenadas , e no espaço tridimensional. Nosso objetivo é desenhar a imagem dessa transformação, ou seja, descobrir como os pontos são mapeados no espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar e em termos de e respectivamente, já que:
Assim, podemos substituir essas expressões na equação de :
Então, temos a relação:

Passo 3

Agora, temos as equações:
Isso nos mostra que qualquer ponto na imagem da transformação satisfaz a equação . Essa é a equação de um plano no espaço tridimensional.

Passo 4

Para desenhar a imagem de , que é o conjunto de todos os pontos que satisfazem , podemos identificar alguns pontos específicos:
  • Se e , então . Ponto: .
  • Se e , então . Ponto: .
  • Se e , então . Ponto: .
  • Se e , então . Ponto: .

Passo 5

Plotando esses pontos no espaço tridimensional e conectando-os, percebemos que eles formam um plano inclinado. Esse plano representa a imagem da transformação , onde cada ponto é mapeado para um ponto no espaço que satisfaz .

Resposta

A imagem da transformação é o plano definido pela equação no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Considere que é o gráfico da função, , ou seja, é dada por . Prove que a área de é dada por .
Calcule :
a) , onde é o hemisfério , com apontando para o exterior da esfera.
Seja a transformação , onde e . Desenhe o conjunto onde .
Seja a transformação . Desenhe o conjunto onde .