Considere que S é o gráfico da função, f: Omega R^3, ou seja, S é dada por (x, y, f(x, y)). Prove que a área de S é dada por integral duplaOmega raiz1+partial fpartial x(x, y)+partial fpartial y(x, y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que a área de uma superfície , que é o gráfico de uma função dada por , pode ser calculada usando a integral dupla . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada e aplicar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície parametrizada por , usamos a fórmula da integral dupla sobre a região no plano . A ideia é somar infinitesimalmente pequenas áreas na superfície.

Passo 3

Para calcular essa área, precisamos encontrar um elemento de área na superfície . Se considerarmos um pequeno retângulo no plano com lados e , sua imagem na superfície será um paralelogramo cujas áreas são dadas pelo produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 4

Os vetores tangentes a Tx = (1, 0, partial fpartial x) nas direções Ty = (0, 1, partial fpartial y) e são:
O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor perpendicular à superfície, e o módulo desse produto dá a área do paralelogramo.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Tx times Ty = | ccc i & j & k 1 & 0 & partial fpartial x 0 & 1 & partial fpartial y | = ( -partial fpartial x, -partial fpartial y, 1 )
O módulo desse vetor é:
| Tx times Ty | = raiz(-partial fpartial x)^2 + (-partial fpartial y)^2 + 1^2 = raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2

Passo 6

Então, o elemento de área na superfície dA = | Tx times Ty | , dx , dy = raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy é:

Passo 7

Para encontrar a área total da superfície Área de S = integral duplaOmega raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy , integramos esse elemento sobre toda a região :
Á

Resposta

A área da superfície integral duplaOmega raiz1+(partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy é dada por:

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