Considere que é o gráfico da função, , ou seja, é dada por . Prove que a área de é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que a área de uma superfície , que é o gráfico de uma função dada por , pode ser calculada usando a integral dupla . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada e aplicar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície parametrizada por , usamos a fórmula da integral dupla sobre a região no plano . A ideia é somar infinitesimalmente pequenas áreas na superfície.

Passo 3

Para calcular essa área, precisamos encontrar um elemento de área na superfície . Se considerarmos um pequeno retângulo no plano com lados e , sua imagem na superfície será um paralelogramo cujas áreas são dadas pelo produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 4

Os vetores tangentes a nas direções e são:
O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor perpendicular à superfície, e o módulo desse produto dá a área do paralelogramo.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:

Passo 6

Então, o elemento de área na superfície é:

Passo 7

Para encontrar a área total da superfície , integramos esse elemento sobre toda a região :
Á

Resposta

A área da superfície é dada por:

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Calcule :
a) , onde é o hemisfério , com apontando para o exterior da esfera.
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(a) e é a esfera de contro na origem e raio .
Seja a transformação , onde e . Desenhe a imagem de .
Seja a transformação , onde e . Desenhe o conjunto onde .