Considere que é o gráfico da função, , ou seja, é dada por . Prove que a área de é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar que a área de uma superfície , que é o gráfico de uma função dada por , pode ser calculada usando a integral dupla . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada e aplicar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície parametrizada por , usamos a fórmula da integral dupla sobre a região no plano . A ideia é somar infinitesimalmente pequenas áreas na superfície.
Passo 3
Para calcular essa área, precisamos encontrar um elemento de área na superfície . Se considerarmos um pequeno retângulo no plano com lados e , sua imagem na superfície será um paralelogramo cujas áreas são dadas pelo produto vetorial dos vetores tangentes.
Passo 4
Os vetores tangentes a nas direções e são:
O produto vetorial desses vetores nos dá um vetor perpendicular à superfície, e o módulo desse produto dá a área do paralelogramo.
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Passo 6
Então, o elemento de área na superfície é:
Passo 7
Para encontrar a área total da superfície , integramos esse elemento sobre toda a região :